Bài 3 IMO 2005

#1
tk14nkt

Đã gửi 14-07-2005 - 12:27

Đồi gió hú

Thành viên
358 Bài viết

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn: $xyz \geq 1.$
Chứng minh rằng:

$\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \dfrac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2} + \dfrac{z^5-z^2}{z^5+x^2+x^2} \geq 0$

Trying not to break

#2
chuyentoan

Đã gửi 14-07-2005 - 21:30

None

Hiệp sỹ
1650 Bài viết

Biến đổi BĐT thành:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x,y,z\) thỏa mãn BĐT thì bộ http://dientuvietnam...;,y',z'\) với http://dientuvietnam...etex.cgi?xyz=1. Khi đó:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum\dfrac{1}{x^5+y^2+z^2}=\sum\dfrac{1}{\dfrac{x^4}{yz}+y^2+z^2}
$\le \sum\dfrac{1}{\dfrac{2x^4}{y^2+z^2}+y^2+z^2}=\sum\dfrac{3$y^2+z^2$}{3$2x^4+\(y^2+z^2$^2}$
$\le \sum\dfrac{3$y^2+z^2$}{2$x^2+y^2+z^2$}=\dfrac{3}{x^2+y^2+z^2}$ (đpcm)

The only way to learn mathematics is to do mathematics

#3
EROS_CUPID

Đã gửi 15-07-2005 - 10:03

Thượng sĩ

Thành viên
201 Bài viết

Biến đổi BĐT thành:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x,y,z\) thỏa mãn BĐT thì bộ http://dientuvietnam...;,y',z'\) với $x'=kx, y'=ky, z'=kz, k\ge 1$ cũng thỏa mãn.

Tôi ko nghĩ vâỵ!!BĐt này là ko đồng bâc nên ko thể giả sử được..

Keira Knightley

#4
chuyentoan

Đã gửi 15-07-2005 - 10:15

None

Hiệp sỹ
1650 Bài viết

Mình đâu có nói là BĐt trên thuần nhất. Bạn thử nghĩ xem nhé:
Nếu BĐt sau đúng:
http://dientuvietnam...etex.cgi?(x,y,z\) bởi $$kx, ky, kz$; k\ge 1$ ta có:
$\sum\dfrac{1}{k^3x^5+y^2+z^2}\le \dfrac{3}{x^2+y^2+z^2}$
Hiển nhiên BĐT này cũng đúng do $k\ge 1$ :geq

The only way to learn mathematics is to do mathematics

#5
EROS_CUPID

Đã gửi 15-07-2005 - 16:17

Thượng sĩ

Thành viên
201 Bài viết

Mình cũng nghĩ giống bạn.Đâù tiên giả sử:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=\sqrt[3]{k}a,y=\sqrt[3]{k}b,z=\sqrt[3]{k}c(với http://dientuvietnam...metex.cgi?abc=1).Rồi đưa về BĐT giống bạn..

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi EROS_CUPID: 15-07-2005 - 16:19

Keira Knightley

#6
tk14nkt

Đã gửi 15-07-2005 - 20:05

Đồi gió hú

Thành viên
358 Bài viết

Bên mathlinks cho một lời giải thật đẹp.
Xin được giới thiệu với các bạn.

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

$\displaystyle \displaystyle \dfrac{1}{x^5 + y^2 + z^2} + \dfrac{1}{x^2 + y^5 + z^2} + \dfrac{1}{x^2 + y^2 + z^5} \leq \dfrac{3}{x^2 + y^2 + z^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\displaystyle \left( x^2 \cdot x^3 + y^2 + z^2 \right) \left( x^2 \cdot \dfrac{1}{x^3} + y^2 + z^2 \right) \geq \left(x^2+y^2+z^2\right)^2$

Từ giả thiết của bài toán ta có:

$\displaystyle \displaystyle x^2 \cdot \dfrac{1}{x^3} = \dfrac{1}{x} \leq yz$

Suy ra:

$\displaystyle \left(x^5 + y^2 + z^2\right) \left(yz + y^2 + z^2\right) \geq \left( x^2 \cdot x^3 + y^2 + z^2 \right) \left( x^2 \cdot \dfrac{1}{x^3} + y^2 + z^2 \right) \geq \left(x^2 + y^2 + z^2)^2$

Do đó ta có:

$\displaystyle \displaystyle \sum_{\textrm{cyc}} \dfrac{1}{x^5 + y^2 + z^2} \leq \sum_{\textrm{cyc}}\dfrac{yz + y^2 + z^2}{\left(x^2 + y^2 + z^2\right)^2} \leq \sum_{\textrm{cyc}}\dfrac{\dfrac{y^2+z^2}{2} + y^2 + z^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2} = \dfrac{3}{x^2+y^2+z^2}$

Vậy ta được đfcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_nkht: 15-07-2005 - 20:06

Trying not to break

#7
EROS_CUPID

Đã gửi 16-07-2005 - 20:19

Thượng sĩ

Thành viên
201 Bài viết

Mình đâu có nói là BĐt trên thuần nhất. Bạn thử nghĩ xem nhé:
Nếu BĐt sau đúng:
http://dientuvietnam...etex.cgi?(x,y,z\) bởi $$kx, ky, kz$; k\ge 1$ ta có:
$\sum\dfrac{1}{k^3x^5+y^2+z^2}\le \dfrac{3}{x^2+y^2+z^2}$
Hiển nhiên BĐT này cũng đúng do $k\ge 1$

Có lẽ chúng ta đang làm phức tạp nó hơn.Điều kiện: $abc\geq 1$ cho ta $a^5\geq \dfrac{a^4}{bc}$
Bài toán này thực sự dễ.

Keira Knightley

#8
chuyentoan

Đã gửi 16-07-2005 - 21:17

None

Hiệp sỹ
1650 Bài viết

okie, nhận định chung là để IMO năm nay dễ hơn mọi năm :geq

The only way to learn mathematics is to do mathematics

#9
tkhtn

Đã gửi 26-07-2005 - 09:57

Trung sĩ

Thành viên
128 Bài viết

Nói chung là đề này dễ. Lời giải của chuyên toán cũng ngắn gọn và dễ hiểu.
Chỉ có đoạn $3(2x^4+(y^2+z^2)^2)\ge 2(x^2+y^2+z^2)$ là phải mất sức tí tẹo.

Toán học muôn màu là bể khổ và cũng là thiên đường
Tùy thuộc vào việc người ta yêu hay ghét mà thôi.

#10
chuyentoan

Đã gửi 27-07-2005 - 09:54

None

Hiệp sỹ
1650 Bài viết

Cái đó có thể dùng Bunhia hoặc khai triển ra thì được BĐT CS cho 2 số :geq

The only way to learn mathematics is to do mathematics

#11
Nesbit

Đã gửi 29-07-2005 - 10:32

...let it be...

Quản lý Toán Ứng dụng
2412 Bài viết

Bên mathlinks cho một lời giải thật đẹp.
Xin được giới thiệu với các bạn.

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

$\displaystyle \displaystyle \dfrac{1}{x^5 + y^2 + z^2} + \dfrac{1}{x^2 + y^5 + z^2} + \dfrac{1}{x^2 + y^2 + z^5} \leq \dfrac{3}{x^2 + y^2 + z^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\displaystyle \left( x^2 \cdot x^3 + y^2 + z^2 \right) \left( x^2 \cdot \dfrac{1}{x^3} + y^2 + z^2 \right) \geq \left(x^2+y^2+z^2\right)^2$

Từ giả thiết của bài toán ta có:

$\displaystyle \displaystyle x^2 \cdot \dfrac{1}{x^3} = \dfrac{1}{x} \leq yz$

Suy ra:

$\displaystyle \left(x^5 + y^2 + z^2\right) \left(yz + y^2 + z^2\right) \geq \left( x^2 \cdot x^3 + y^2 + z^2 \right) \left( x^2 \cdot \dfrac{1}{x^3} + y^2 + z^2 \right) \geq \left(x^2 + y^2 + z^2)^2$

Do đó ta có:

$\displaystyle \displaystyle \sum_{\textrm{cyc}} \dfrac{1}{x^5 + y^2 + z^2} \leq \sum_{\textrm{cyc}}\dfrac{yz + y^2 + z^2}{\left(x^2 + y^2 + z^2\right)^2} \leq \sum_{\textrm{cyc}}\dfrac{\dfrac{y^2+z^2}{2} + y^2 + z^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2} = \dfrac{3}{x^2+y^2+z^2}$

Vậy ta được đfcm.

Đây chính là lời giải của mình.
Từ lời giải này ta có thể tổng quát bài toán :
Cho x,y,z dương và $xyz /ge 1$ . Chứng minh BĐT
$\sum \dfrac{x^k-x}{x^k+y+z} \ge 0$ với k là số thực không nhỏ hơn 1.

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

Góp ý về cách điều hành của mod

#12
zaizai

Đã gửi 29-08-2005 - 15:05

Tiến sĩ diễn đàn toán

Thành viên
1380 Bài viết

cho em hỏi tại sao BĐT lại tương đương như vậy

#13
Nesbit

Đã gửi 31-08-2005 - 20:31

...let it be...

Quản lý Toán Ứng dụng
2412 Bài viết

$\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} -1 = \dfrac{-(x^2+y^2+z^2)}{x^5+y^2+z^2}$

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

Góp ý về cách điều hành của mod

#14
anhminh

Đã gửi 01-09-2005 - 08:20

Sĩ quan

Thành viên
322 Bài viết

Mình tò mò 1 chút nhé?Cái lời giải được giải đặc biệt ấy như thế nào?Phải chăng là lời giải mà phuc_nkht post lên???

Tôi thực sự BUỒN vì thua kém về TƯ DUY...Nhưng tôi sẽ KHÔNG BAO GIỜ ĐỨNG YÊN chấp nhận sự thất bại ấy.
Vào đi các bạn ơi!

#15
doulce

Đã gửi 01-09-2005 - 17:32

Thượng sĩ

Thành viên
283 Bài viết

Không .lời giải đặc biệt ấy như sau:(chỉ 3 dòng)
$\dfrac{ x^{5} - x^{2} }{ x^{5} +y^{2} +z^{2}} \geq \dfrac{ x^{5} - x^{2} }{ x^{3} (x^{2} +y^{2} +z^{2})}$
Sau đấy thì sử dụng x

1/yz
Đc giải đb năm nay hình như la 1 người con gái thì phải.Chắc là ế chồng rồi :vdots

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doulce: 01-09-2005 - 17:36

--------------------------------------------
TÔI YÊU TOÁN VÀ TÔI MUỐN GIẾT NÓ

#16
Nesbit

Đã gửi 03-09-2005 - 17:59

...let it be...

Quản lý Toán Ứng dụng
2412 Bài viết

Sao bạn biết ?
Thầy mình cũng đưa ra lời giải này trên lớp (hình như là của thầy).

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

Góp ý về cách điều hành của mod

#17
doulce

Đã gửi 03-09-2005 - 18:24

Thượng sĩ

Thành viên
283 Bài viết

Thầy mình bảo thế mà.(thầy đưa h/s/đi thi mà).
Mà thầy của bạn là ai thế.

--------------------------------------------
TÔI YÊU TOÁN VÀ TÔI MUỐN GIẾT NÓ

#18
phuonglinh

Đã gửi 08-09-2005 - 12:15

Binh nhất

Thành viên
34 Bài viết

sao lại đặc biệt,mình cũng nghĩ là nó dúng đó chứ

#1 tk14nkt Đã gửi 14-07-2005 - 12:27

#2 chuyentoan Đã gửi 14-07-2005 - 21:30

#3 EROS_CUPID Đã gửi 15-07-2005 - 10:03

#4 chuyentoan Đã gửi 15-07-2005 - 10:15

#5 EROS_CUPID Đã gửi 15-07-2005 - 16:17

#6 tk14nkt Đã gửi 15-07-2005 - 20:05

#7 EROS_CUPID Đã gửi 16-07-2005 - 20:19

#8 chuyentoan Đã gửi 16-07-2005 - 21:17

#9 tkhtn Đã gửi 26-07-2005 - 09:57

#10 chuyentoan Đã gửi 27-07-2005 - 09:54

#11 Nesbit Đã gửi 29-07-2005 - 10:32

#12 zaizai Đã gửi 29-08-2005 - 15:05

#13 Nesbit Đã gửi 31-08-2005 - 20:31

#14 anhminh Đã gửi 01-09-2005 - 08:20

#15 doulce Đã gửi 01-09-2005 - 17:32

#16 Nesbit Đã gửi 03-09-2005 - 17:59

#17 doulce Đã gửi 03-09-2005 - 18:24

#18 phuonglinh Đã gửi 08-09-2005 - 12:15

0 người đang xem chủ đề

Đăng nhập

#1
tk14nkt

Đã gửi 14-07-2005 - 12:27

#2
chuyentoan

Đã gửi 14-07-2005 - 21:30

#3
EROS_CUPID

Đã gửi 15-07-2005 - 10:03

#4
chuyentoan

Đã gửi 15-07-2005 - 10:15

#5
EROS_CUPID

Đã gửi 15-07-2005 - 16:17

#6
tk14nkt

Đã gửi 15-07-2005 - 20:05

#7
EROS_CUPID

Đã gửi 16-07-2005 - 20:19

#8
chuyentoan

Đã gửi 16-07-2005 - 21:17

#9
tkhtn

Đã gửi 26-07-2005 - 09:57

#10
chuyentoan

Đã gửi 27-07-2005 - 09:54

#11
Nesbit

Đã gửi 29-07-2005 - 10:32

#12
zaizai

Đã gửi 29-08-2005 - 15:05

#13
Nesbit

Đã gửi 31-08-2005 - 20:31

#14
anhminh

Đã gửi 01-09-2005 - 08:20

#15
doulce

Đã gửi 01-09-2005 - 17:32

#16
Nesbit

Đã gửi 03-09-2005 - 17:59

#17
doulce

Đã gửi 03-09-2005 - 18:24

#18
phuonglinh

Đã gửi 08-09-2005 - 12:15