Chủ đề này có 7 trả lời

[abstract]

Cho $ f: R \to R$ thỏa mãn
$f(x+2xy)=f(x)+2f(xy)$
CMR $f$ cộng tính

[leviethai1994]

Cho $ f: R \to R$ thỏa mãn
$f(x+2xy)=f(x)+2f(xy)$
CMR $f$ cộng tính

Xét $P(x,y)$ là phép thế $(x,y)$ vào phương trình hàm ban đầu. Ta có:
$P(0,y):f(0) = 3f(0) \Leftrightarrow f(0) = 0$

$P(x, - 1):f( - x) = f(x) + 2f( - x) \Leftrightarrow f(x) + f( - x) = 0$

Vậy $f$ là hàm lẻ. Ta lại có:
$P\left( {x, - \dfrac{1}{2}} \right):f(0) = f(x) + 2f\left( { - \dfrac{x}{2}} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = 2f\left( {\dfrac{x}{2}} \right)$

Thay trở lại vào phương trình hàm ban đầu ta sẽ suy ra ngay tính cộng tính của hàm $f$

[ASE]

Tìm $ f:R \to R$ sao cho
$f(x+\dfrac{1}{f(y)})=f(y+\dfrac{1}{f(x)})$

[abstract]

Xét $P(x,y)$ là phép thế $(x,y)$ vào phương trình hàm ban đầu. Ta có:
$P(0,y):f(0) = 3f(0) \Leftrightarrow f(0) = 0$

$P(x, - 1):f( - x) = f(x) + 2f( - x) \Leftrightarrow f(x) + f( - x) = 0$

Vậy $f$ là hàm lẻ. Ta lại có:
$P\left( {x, - \dfrac{1}{2}} \right):f(0) = f(x) + 2f\left( { - \dfrac{x}{2}} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = 2f\left( {\dfrac{x}{2}} \right)$

Thay trở lại vào phương trình hàm ban đầu ta sẽ suy ra ngay tính cộng tính của hàm $f$

Cách làm khá đơn giản! Còn một câu hỏi nữa là tìm f ???
Tìm $ f: R \to R$ liên tục sao cho:
$f(x+2f(y))=f(x)+y+f(y)$

[abstract]

Tìm $ f:R \to R$ sao cho
$f(x+\dfrac{1}{f(y)})=f(y+\dfrac{1}{f(x)})$

Hàm có liên tục ko bạn???
Có vẻ như đây là một bài rất khó bởi lẽ hàm $f(x)=\dfrac{1}{1+x-[x]}$ Ko hiểu sao ko đánh đc {x} thỏa mãn . Mà với nghiệm này thì có lẽ sol ko đơn giản

[abstract]

Tìm $ f:R \to R$ sao cho
$f(x+\dfrac{1}{f(y)})=f(y+\dfrac{1}{f(x)})$

Hàm có liên tục ko bạn???
Có vẻ như đây là một bài rất khó bởi lẽ hàm $f(x)=\dfrac{1}{1+x-[x]}$ Ko hiểu sao ko đánh đc {x} thỏa mãn . Mà với nghiệm này thì có lẽ sol ko đơn giản

[leviethai1994]

Cách làm khá đơn giản! Còn một câu hỏi nữa là tìm f ???
Tìm $ f: R \to R$ liên tục sao cho:
$f(x+2f(y))=f(x)+y+f(y)$

Xét $P(x,y)$ là phép thế $(x,y)$ vào phương trình hàm ban đầu.

Ta giải quyết bài toán theo các bước sau:
1/ $f$ là đơn ánh.
Nếu $f\left( {{y_1}} \right) = f\left( {{y_2}} \right)$ suy ra $f\left( {x + 2f({y_1})} \right) = f\left( {x + 2f({y_2})} \right) \Rightarrow {y_1} = {y_2}$
Vậy $f$ là đơn ánh.

2/ $f$ là toàn ánh.
Ta có:
$P\left( {y - 2f(y),y} \right):f(y) = f\left( {y - 2f(y)} \right) + y + f(y)$
$ \Rightarrow f\left( {y - 2f(y)} \right) = - y$ $\forall y \in R$

Vậy $f$ là toàn ánh.

3/ $f$ cộng tính.
Ta có:
$P(x, - f(x)):f\left( {x + 2f( - f(x))} \right) = f\left( { - f(x)} \right)$

Do $f$ đơn ánh nên suy ra:
$ x + 2f( - f(x)) = - f(x) \Rightarrow x + f(x) = - 2f( - f(x))$ $\forall x \in R$

Thay trở lại vào phương trình hàm ban đầu, ta được:
$f\left( {x + 2f(y)} \right) = f(x) - 2f( - f(y))$ $\forall x,y \in R$

Do $f$ toàn ánh, nên ta được quyền thay $f(y)$ bởi $y$. Suy ra:
$f\left( {x + 2y} \right) = f(x) - 2f( - y) $ $\forall x,y \in R$ (1)

Cho $x=y=0$, ta suy ra: $f(0) = 0$
Thay $y$ bởi $-\dfrac{x}{2}$, ta được:
$f(0) = f(x) - 2f\left( {\dfrac{x}{2}} \right) \Rightarrow f(x) = 2f\left( {\dfrac{x}{2}} \right) $ $\forall x \in R$

Thay trở lại vào phương trình hàm (1), ta có:
$f\left( {x + 2y} \right) = f(x) - f( - 2y) $ $\forall x,y \in R$

Thay $x$ bởi $x+y$, và thay $y$ bởi $-\dfrac{y}{2}$, ta được:
$f(x) + f(y) = f(x + y) $ $\forall x,y \in R$

Vậy $f$ cộng tính.

4/ $f(x)=x \forall x \in R$ hoặc $f(x)=-\dfrac{x}{2} \forall x \in R$.
Do $f$ cộng tính, kết hợp với tính liên tục, ta suy ra $f(x)=cx \forall x \in R$. Thay trở lại vào phương trình hàm ban đầu, ta sẽ tìm được $c=1 \vee c=-\dfrac{1}{2}$. Từ đó suy ra 2 hàm thỏa.

Vậy $f(x)=x $ $\forall x \in $ hoặc $f(x)=-\dfrac{x}{2} R$ $\forall x \in $.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leviethai1994: 12-08-2010 - 16:25

[abstract]

Tim $f :R+ \to R+$
$f(x)f(y)=f(x+yf(x))$