Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi vào chuyên toán THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 Nguyễn Hoàng Nam

Nguyễn Hoàng Nam

    Độc thân...

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Kiếng cận và tất cả những gì liên quan đến kiếng cận ^^!

Đã gửi 12-08-2010 - 09:01

Bài 1: (2 điểm)
1. Cho $n$ là số nguyên, chứng minh $A = n^3 + 11n$ chia hết cho 6.
2. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $B = n^4 - 3n^2 + 1$ là số nguyên tố.

Bài 2: (2 điểm)
Cho phương trình: $(m^2 + 2m + 2)x^2 - (m^2 - 2m + 2)x - 1 = 0$.
Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho.
1. Tìm các giá trị của m để $x_1^2 + x_2^2 = 2x_1x_2(2x_1x_2 - 1)$.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $S = x_1 + x_2$.

Bài 3: (2 điểm)
1. Cho $a$ bất kì, chứng minh rằng $\dfrac{a^{2010} + 2010}{\sqrt{a^{2010} + 2009}} > 2$.
2. Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn phương trình:
$y^2 - (x - 2)(x^2 - 2x + 2)x = 0$.

Bài 4: (3 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm E,F.
1. Chứng minh rằng giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
2. Cho A là một điểm bất kỳ thuộc cung EF chứa điểm M của đường tròn đường kính OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng minh $OA.OB = R^2$.
3. Cho biết $OM = 2R$ và N là điểm bất kỳ thuộc cung EF chứa điểm I của đường tròn (O;R) (N khác E và F). Gọi d là đường thẳng qua F và vuông góc với đường thẳng EN tại điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F). Hai đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: $PN.PK + QN.QK \leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}R^2$.

Bài 5: (1 điểm)
Giải phương trình: $x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 = 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Nam: 09-05-2011 - 18:03

Kho tư liệu bất đẳng thức

My blog

My website
Bán acc Megaupload giá rẻ, giảm giá đặc biệt cho các thành viên của VMF :D
Contact: 01644 036630

#2 abstract

abstract

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối A0

Đã gửi 12-08-2010 - 12:17

Bài 1: (2 điểm)
1. Cho $n$ là số nguyên, chứng minh $A = n^3 + 11n$ chia hết cho 6.
2. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $B = n^4 - 3n^2 + 1$ là số nguyên tố.

Bài 2: (2 điểm)
Cho phương trình: $(m^2 + 2m + 2)x^2 - (m^2 - 2m + 2)x - 1 = 0$.
Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho.
1. Tìm các giá trị của m để $x_1^2 + x_2^2 = 2x_1x_2(2x_1x_2 - 1)$.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $S = x_1 + x_2$.

Bài 3: (2 điểm)
1. Cho $a$ bất kì, chứng minh rằng $\dfrac{a^{2010} + 2010}{\sqrt{a^2010 + 2009}} > 2$.
2. Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn phương trình:
$y^2 - (x - 2)(x^2 - 2x + 2)x = 0$.

Bài 4: (3 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm E,F.
1. Chứng minh rằng giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
2. Cho A là một điểm bất kỳ thuộc cung EF chứa điểm M của đường tròn đường kính OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng minh $OA.OB = R^2$.
3. Cho biết $OM = 2R$ và N là điểm bất kỳ thuộc cung EF chứa điểm I của đường tròn (O;R) (N khác E và F). Gọi d là đường thẳng qua F và vuông góc với đường thẳng EN tại điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F). Hai đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: $PN.PK + QN.QK \leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}R^2$.

Bài 5: (1 điểm)
Giải phương trình: $x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 = 0$.

Đề này chắc bài cuối khó nhất! Chẳng hiểu bọn lớp 9 làm như nào :-S
Mò mẩm ra cái đẳng thức này: $x^{15}-1=(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 )$ Suy ra pt vô nghiệm
Cái này trong phòng thi chắc ko ra được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 12-08-2010 - 13:57

Đã mang tiếng ở trong trời đất
Phải có danh gì với núi sông


#3 leviethai1994

leviethai1994

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 45 Bài viết

Đã gửi 12-08-2010 - 13:15

Đề này chắc bài cuối khó nhất! Chẳng hiểu bọn lớp 9 làm như nào :*
Ra cái đẳng thức này: $x^{15}-1=(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 )$ Suy ra pt vô nghiệm
Cái này trong phòng thi chắc ko ra được


Đây là cách làm của mình, tuy rằng nó hơi dài nhưng lại tự nhiên :-S

Ta có:
$ {x^8} - {x^7} + {x^5} - {x^4} + {x^3} - x + 1 = 0 $
$\Leftrightarrow {x^8} - {x^4} + 1 = {x^7} - {x^5} - {x^3} + x $
$ \Leftrightarrow {x^8} - {x^4} + 1 = x{\left( {{x^2} - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right) $

Như vậy nếu phương trình có nghiệm, buộc phải có: $x > 0$

Mặt khác, phương trình lại tương đương với:
${x^8} - {x^7} + {x^6} - {x^6} + {x^5} - {x^4} + {x^3} - {x^2} + x + {x^2} - 2x + 1 = 0$
$ \Leftrightarrow {x^6}\left( {{x^2} - x + 1} \right) - {x^4}\left( {{x^2} - x + 1} \right) + x\left( {{x^2} - x + 1} \right) + {\left( {x - 1} \right)^2} = 0$
$\Leftrightarrow \left( {{x^6} - {x^4} + x} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) + {\left( {x - 1} \right)^2} = 0$

Suy ra: ${x^6} - {x^4} + x < 0 \Rightarrow - {x^4} + x < 0 \Rightarrow x > 1$, nhưng rõ ràng khi đó:

${x^8} - {x^7} + {x^5} - {x^4} + {x^3} - x + 1 > 0$

Vậy phương trình vô nghiệm.

P/S: cách giải này dựa trên ý tưởng áp dụng bất đẳng thức. Nó có vẻ khá dài nhưng lại hoàn toàn sơ cấp. Ai có cách giải hay hơn thì post lên cho mọi người nhé.
Lời giải có chỗ nào chưa ổn, mong mọi người góp ý.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leviethai1994: 12-08-2010 - 13:21


#4 Nguyễn Hoàng Nam

Nguyễn Hoàng Nam

    Độc thân...

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Kiếng cận và tất cả những gì liên quan đến kiếng cận ^^!

Đã gửi 12-08-2010 - 19:58

Đề này chắc bài cuối khó nhất! Chẳng hiểu bọn lớp 9 làm như nào :-S
Mò mẩm ra cái đẳng thức này: $x^{15}-1=(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 )$ Suy ra pt vô nghiệm
Cái này trong phòng thi chắc ko ra được


Cách của anh gần như tối ưu rồi :*( Đề năm nay bài nào cũng khá dễ, nhưng ko hiểu sao bài cuối lại khó thế, em định dùng cách đặt ẩn nhưng xem ra cũng không ổn :-S
Kho tư liệu bất đẳng thức

My blog

My website
Bán acc Megaupload giá rẻ, giảm giá đặc biệt cho các thành viên của VMF :D
Contact: 01644 036630

#5 pth_tdn

pth_tdn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM

Đã gửi 13-08-2010 - 09:19

Theo em nghĩ trường hợp 0<x<1 có thể làm thế này: $1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8=(1-x)+x^3(1-x)+x^5(1-x)(1+x)+x^8>0$

#6 nguyen thai phuc

nguyen thai phuc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối A0, lớp A2 ĐHKHTN ĐHQGHN

Đã gửi 13-08-2010 - 19:28

Đề này chắc bài cuối khó nhất! Chẳng hiểu bọn lớp 9 làm như nào :)
Mò mẩm ra cái đẳng thức này: $x^{15}-1=(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 )$ Suy ra pt vô nghiệm
Cái này trong phòng thi chắc ko ra được

Hê hê. Bài này em làm được này :). Nhưng ko hiểu sao con hình làm linh ta linh tinh, cuối cùng mất đứt 3 trang giấy cho con hình cuối :)(. và có vẻ như bị trừ sạch điểm ( còn có 9.25 :-<)
$\begin{array}{l} x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow x^3 \left( {x - 1} \right)^2 + \left( {x - 1} \right)\left( {x^7 - 1} \right) + x^4 = 0 \\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x^7 + x^4 - x^3 - 1} \right) + x^4 = 0 \\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x^3 + 1} \right)\left( {x^4 - 1} \right) + x^4 = 0 \\ \Leftrightarrow \left( {x^2 - 1} \right)^2 \left( {x^2 - x + 1} \right)\left( {x^2 + 1} \right) + x^4 = 0 \\ \end{array}$
Đến đây thì chắc mọi người thấy cả rồi.
Hình đã gửi

#7 falling down

falling down

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

Đã gửi 18-08-2010 - 18:15

thủ khoa, á khoa là ai ý nhỉ :D mọi người biết ko ;))?

#8 PhanTienBInh

PhanTienBInh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 18-08-2010 - 23:34

Đề này chắc bài cuối khó nhất! Chẳng hiểu bọn lớp 9 làm như nào :D
Mò mẩm ra cái đẳng thức này: $x^{15}-1=(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 )$ Suy ra pt vô nghiệm
Cái này trong phòng thi chắc ko ra được

híc cái bài cuối em hạ về phương trình bậc 4 rồi tit ngấm kô biết làm thế nào nữa có anh nào cũng dùng cách giống em mà ra đc thì pót lên em xem cái nha ;)).Đề năm nay e thấy không khó bằng mấy đề năm trước.À mà pót hộ em câu cuối bài hình cái nhá

#9 Nguyễn Hoàng Nam

Nguyễn Hoàng Nam

    Độc thân...

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Kiếng cận và tất cả những gì liên quan đến kiếng cận ^^!

Đã gửi 29-04-2011 - 11:19

Hình như có cách giải tối ưu hơn thì phải
Vì $x^2+x+1=(x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0$
$=> x^{10}+x^5+1>0$
$ x^8 - x^7 + x^5 - x^4+ x^3- x+1=\dfrac{x^{10} + x^5 + 1}{x^2 + x+1}$
=> vế trái của phương trình lớn hơn 0, PT vô nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Nam: 09-05-2011 - 18:04

Kho tư liệu bất đẳng thức

My blog

My website
Bán acc Megaupload giá rẻ, giảm giá đặc biệt cho các thành viên của VMF :D
Contact: 01644 036630

#10 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 29-04-2011 - 13:07

Chưa gì đã hứng lên làm mấy bài khó rồi, làm bài dễ vẫn ăn điểm hơn chứ!
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#11 macdangdung

macdangdung

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Móng Cái, Quảng Ninh
  • Sở thích:Xỏ tất ngược và hét.

Đã gửi 03-05-2011 - 19:17

híc cái bài cuối em hạ về phương trình bậc 4 rồi tit ngấm kô biết làm thế nào nữa có anh nào cũng dùng cách giống em mà ra đc thì pót lên em xem cái nha :delta.Đề năm nay e thấy không khó bằng mấy đề năm trước.À mà pót hộ em câu cuối bài hình cái nhá

câu cuối bài hình tớ dùng diện tích tam giác. bạn thử làm xem có giống tớ không
Mạnh mẽ và tự tin lên nào :)

#12 Nguyễn Hoàng Nam

Nguyễn Hoàng Nam

    Độc thân...

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Kiếng cận và tất cả những gì liên quan đến kiếng cận ^^!

Đã gửi 09-05-2011 - 18:06

Công nhận đề thi Hà Nội năm ngoái dễ thật, mình là được hết :D Từ khi chuyên Ams thi toán cơ bản cùng đề với đề chung thì hóa ra lại hay :D
Kho tư liệu bất đẳng thức

My blog

My website
Bán acc Megaupload giá rẻ, giảm giá đặc biệt cho các thành viên của VMF :D
Contact: 01644 036630

#13 trinhthuhuong

trinhthuhuong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:bac ninh

Đã gửi 04-06-2011 - 21:17

Hình như có cách giải tối ưu hơn thì phải
Vì $x^2+x+1=(x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0$
$=> x^{10}+x^5+1>0$
$ x^8 - x^7 + x^5 - x^4+ x^3- x+1=\dfrac{x^{10} + x^5 + 1}{x^2 + x+1}$
=> vế trái của phương trình lớn hơn 0, PT vô nghiệm

một cách khác
Gọi f(x) là hàm số ở vế trái của phương trình ta có:
f(x)= $ x^8 - x^7 + x^5 - x^4+ x^3- x+1 $
$= [x^8 - 2( \dfrac{x}{2})x^4 + ( \dfrac{x}{2})^2)] + \dfrac{x^2}{2} +( \dfrac{x^2}{4} - x+1) $
$=(x^4 - \dfrac{x}{2})^2+ \dfrac{x^2}{2} + ( \dfrac{x}{2} - 1)^2 \geq 0 \forall x $
$ f(x)=0 \Leftrightarrow x^4 - \dfrac{x}{2} = 0 ; x=0 ; \dfrac{x}{2} -1 = 0 $
Hệ này vô nghiệm
Vậy f(x)>0 hay phương trình đã cho vô nghiệm.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh