Chủ đề này có 7 trả lời

[Ferb]

Ai làm hộ em bài này với
Chứng minh
$a)C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n = n.2^{2 - 1} \forall n \in N*$

$b)C_n^0 + 2C_n^1 + 2^2 C_n^2 + ... + 2^n C_n^n = 3^n \forall n \in N*$


Ai làm nhanh hộ em với, có đứa bạn em làm được rồi nhưng em chẳng hiểu gì cả, mọi người làm thật chi tiết và dẽ hiểu giúp em nhá, thanks nhiều!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ferb: 16-08-2010 - 09:21

[Pirates]

Bạn viết vài chỗ nhầm lẫn thì phải... Câu a chắc là như này:

Chứng minh
$a) C_n^1 + 2C_n^2 + ... + x^n C_n^n = n.2^{n - 1} \forall n \in N*$

Nếu là vậy thì ta xét nhị thức: $(x + 1)^n = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + ... + C_n^n x^n$

Lấy đạo hàm 2 vế theo $x$, ta có: $n(1 + x)^{n - 1} = C_n^0 + 2C_n^2 x + ... + nC_n^n x^{n - 1}$.

Cho $x = 1$ ta được: $C_n^1 + 2C_n^2 + ... + x^n C_n^n = n.2^{n - 1}$.

[Ferb]

Bạn viết vài chỗ nhầm lẫn thì phải... Câu a chắc là như này:
Nếu là vậy thì ta xét nhị thức: $(x + 1)^n = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + ... + C_n^n x^n$

Lấy đạo hàm 2 vế theo $x$, ta có: $n(1 + x)^{n - 1} = C_n^0 + 2C_n^2 x + ... + nC_n^n x^{n - 1}$.

Cho $x = 1$ ta được: $C_n^1 + 2C_n^2 + ... + x^n C_n^n = n.2^{n - 1}$.

Ồ,anh ơi, đề của em đúng rồi, không sai đâu, anh thử làm theo đề ấy hộ em, với cả anh giảng dẽ hiểu tí, e mới học lớp 10 thôi

[ndk95]

Bài này áp dụng bổ đề:
$kC_n^k = (n - k + 1)C_n^{k - 1} ( n \geq k \geq 1)$
là được thì phải , hình như thế

[ndk95]

$b)C_n^0 + 2C_n^1 + 2^2 C_n^2 + ... + 2^n C_n^n = 3^n \forall n \in N*$

ôi dào ,tưởng gì chứ, phần này chỉ cần áp dụng đi lí nhị thức với a=2, b=1 là được mà

[novae]

cách khác cho bài 1:
một lớp học có n học sinh, ta tính số cách chọn một nhóm học sinh bất kì và chọn 1 trong số đó làm nhóm trưởng bằng 2 cách:
C1: chọn ra k học sinh để lập nhóm ($1\le k\le n$), có $C^k_n$ cách chọn; sau đó chọn 1 trong số k em đó làm nhóm trưởng, có k cách
do đó số cách chọn theo cách tính này là $\sum_{k=1}^n k.C^k_n=VT$
C2: chọn ra 1 em trong lớp làm nhóm trưởng, có n cách; trong số n-1 em còn lại chọn ra một số em bất kì vào nhóm
số cách chọn theo cách tính này là $n.2^{n-1}=VP$
hiển nhiên số cách chọn theo 2 cách phải bằng nhau và ta có đpcm
cách này tuy hơi dài nhưng trông khá đẹp và đơn giản về ý tưởng

p/s: ndk95 phát biểu sai bổ đề, chính xác phải là $kC^k_n=nC^{k-1}_{n-1}$

[ndk95]

p/s: ndk95 phát biểu sai bổ đề, chính xác phải là $kC^k_n=nC^{k-1}_{n-1}$

Không sai đâu, ta có thể dùng bổ đề đó để chứng minh được mà!

[novae]

ờ, tính nhầm, nhưng mà dùng cái bổ đề kia nhanh hơn