Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cực trị của hàm số


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 thanhthaiagu

thanhthaiagu

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Đến từ:Kiên giang
  • Sở thích:thể thao du lịch

Đã gửi 22-08-2010 - 09:28

Tôi xin lấy 1 ví dụ cụ thể:
Bài toán: Cho hàm số: $y = f\left( x \right) = {x^4} + m{x^2}$
tìm tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 0
" Quang học trong suốt như pha lê"

#2 inhtoan

inhtoan

    <^_^)

  • Thành viên
  • 964 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HN city

Đã gửi 22-08-2010 - 10:11

Ta có $f'(x)=4x^3+2mx$, với mọi $x \in R$.
$1^0.$ Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại $x=0$ là $f'(0)=0 $. Điều này đúng với mọi m.
$2^0.$ Điều kiện đủ, xét đạo hàm bậc 2 ta có $f''(x)=12x^2+2m$;
Để hàm số đạt cực đại tại x=0 thì $f''(0)=2m<0 \Leftrightarrow m <0$.
Vậy hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm $x=0$ khi và chỉ khi $m<0$.

#3 thanhthaiagu

thanhthaiagu

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Đến từ:Kiên giang
  • Sở thích:thể thao du lịch

Đã gửi 23-08-2010 - 18:30

Xét bài toán tương tự, nhưng tìm m để hàm số $ y = x^{4}+mx^{2}$ đạt cực tiểu tại điểm x = 0.
Lời giải:
Đạo hàm $y'=4x^{3}+2mx$, mọi x thuộc R
+ Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là $f'(0)=0$. Điều này đúng với mọi m
+ Điều kiện đủ, đạo hàm cấp 2: $f''(x)=12x^{2}+2m$;
Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 thì $f''(0)=2m>0$ :-? m > 0.
Nếu cho lời giải tương tự ta được: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 khi và chỉ khi m >0.
Bạn hãy xét với m = 0. Hàm số trở thành $y = x^{4}$ Lúc đó $y'=4x^{3}$. Ta có y'<0 với x<0 và y'>0 với x>0. (Lập bảng xét dấu). Nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0. Giải theo cách trên thì còn thiếu trường hợp m = 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhthaiagu: 23-08-2010 - 18:32

" Quang học trong suốt như pha lê"

#4 dehin

dehin

    Chém gió thần!

  • Thành viên
  • 733 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ha Noi
  • Sở thích:Play Đế chế, eat bimbim, đậu phộng and more,...

Đã gửi 23-08-2010 - 21:41

Bạn inhtoan nên xem lại khái niệm về cực trị từ khái niệm ban đầu của nó đến các định lý về cực trị trong SGK. Nhât là để ý các có chữ cần, đủ, cần và đủ ko ?
Hình đã gửi

Hoặc tham khảo lại kiến thức ở đây: http://www.slideshar...phan-ii-cuc-tri

Nhắc lại cho nhớ:
1. Điều kiện cần để hàm số đat cực trị
Định lý: Hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x_0$ và ]$f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì $f'(x_0)=0$

2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Dấu hiêu 1: Các bạn đọc ở link trên
Dấu hiêu 2:
+) $\left\{ \begin{array}{l} f'({x_0}) = 0 \\ f''({x_0}) < 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow $ $f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$
+)$\left\{ \begin{array}{l} f'({x_0}) = 0 \\ f''({x_0}) > 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow $ $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$
Đây là đk đủ ko phải là cần và đủ nên vẫn có TH $f(x)$ đạt cực trị tại 1 điểm mà tại điểm đó ko tồn tại $f''(x)$ hoặc $ f''(x)=0$

Mấy điều này rất dễ nhầm lẫn đó.

Trở lại bài trên, phải làm thế này.
$f(x)=x^4+mx^2$
$f'(x)=4x^3+2mx$ với mọi x thuôc R
Do $f'(0)$ tồn tại nên $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=0$ thì $f'(0)=0$ ( Theo đúng tinh thần đinh lý) . Điều này là đúng với mọi m.
Ta có $f''(x)=12x^2+2m$ với mọi x thuộc R
Do $f''(0)$ có tồn tại nên ta chỉ phải xét 2 TH $f''(0) =0$ hoặc $f'(0)>0$.
+) Xét m>0, ta có
$\left\{ \begin{array}{l} f'({0}) = 0 \\ f''({x_0}) >0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow $ $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=0$
+) Xét m=0, ta có $ f'(x)=x^4$
$f'(x)=4x^3$ => Lập bảng biến thiên => x=0 là điểm cực tiểu của hàm số

Kết luận: Đk cần tìm là $ m \ge 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dehin: 23-08-2010 - 22:11

Love Lan Anh !

#5 inhtoan

inhtoan

    <^_^)

  • Thành viên
  • 964 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HN city

Đã gửi 23-08-2010 - 23:31

Bạn inhtoan nên xem lại khái niệm về cực trị từ khái niệm ban đầu của nó đến các định lý về cực trị trong SGK. Nhât là để ý các có chữ cần, đủ, cần và đủ ko ?

Đúng là mình nhầm thật...hơi chủ quan phần này nên chưa nắm chắc lí thuyết :-? .

#6 thanhthaiagu

thanhthaiagu

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Đến từ:Kiên giang
  • Sở thích:thể thao du lịch

Đã gửi 29-08-2010 - 09:49

Tôi đề xuất vấn đề này chỉ để đưa ra 1 trường hợp sử dụng quy tắc 2 để tìm tham số m hàm số đạt cực trị tại điểm x=xo, làm sót nghiệm của bài toán. Như vậy trong quá trình giảng dạy hay làm dạng toán này ta nên dùng quy tắc 1 hay là dùng quy tắc 2. Một số bài toán dùng quy tắc 1 tỏ ra khá phức tạp, trong khi dùng quy tắc 2 lại rất dễ dàng. Câu hỏi đặt ra là khi trình bày lời giải bằng cách dùng điều kiện cần và điều kiện đủ như cách của quy tắc 2 có tổng quát cho mọi bài toán hay không. Và khi giải đề thi tốt nghiệp nếu có câu này thì trình bày theo cách nào để đạt điểm tối đa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhthaiagu: 29-08-2010 - 09:52

" Quang học trong suốt như pha lê"

#7 quyenbg2011

quyenbg2011

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 20-03-2011 - 01:38

vấn đề bạn đưa ra cũng rất hay ! sẽ nhiều người thiếu trường hợp như thế ! theo tôi thì vấn đề là chỗ f''(x) ! nếu nói thêm là: trường hợp m=0 làm cho f''(x) không đổi dấu thì dẫn tới kq đúng=> ok



#8 decon2009

decon2009

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Đã gửi 23-03-2011 - 22:44

Ta có $f'(x)=4x^3+2mx$, với mọi $x \in R$.
$1^0.$ Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại $x=0$ là $f'(0)=0 $. Điều này đúng với mọi m.
$2^0.$ Điều kiện đủ, xét đạo hàm bậc 2 ta có $f''(x)=12x^2+2m$;
Để hàm số đạt cực đại tại x=0 thì $f''(0)=2m<0 \Leftrightarrow m <0$.
Vậy hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm $x=0$ khi và chỉ khi $m<0$.

điều kiện đủ ở đây bạn dùng chưa chính xác: "Để hàm số đạt cực đại tại x=0 thì $f''(0)=2m<0 \Leftrightarrow m <0$."
nếu thay vào f''(0) ta được hằng số âm thì đó là đủ để kết luận hs đạt cực đại tại x=0.còn ở đây bắt f''(0)<0 để f đạt cực đại tại x=0 thì đó là điều kiện cần rồi.

#9 phuongtrinh2988

phuongtrinh2988

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dân vùng 38
  • Sở thích:Đá bóng,đọc sách

Đã gửi 14-08-2013 - 15:56

theo tôi nghĩ bài này giải quyết như bạn chem gió thần  là tối ưu nhất


Nguyễn Trần Phương Trình


#10 thedarkness110

thedarkness110

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Ăn Ngủ Và Làm Toán ^^!

Đã gửi 13-10-2017 - 11:10

Đến các thầy còn nhầm lẫn thế này chúng em trình bày sao tránh khỏi thiếu sót ! Cảm ơn các thầy nhiều ạ 

Ngoài ra cho em hỏi là ngoài cách dùng đạo hàm bậc 2 ra thì còn cách nào khác không ạ ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedarkness110: 13-10-2017 - 11:13


#11 habaomy

habaomy

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 10-12-2017 - 01:20

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi habaomy: 10-12-2017 - 02:10


#12 habaomy

habaomy

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 10-12-2017 - 02:10

Đến các thầy còn nhầm lẫn thế này chúng em trình bày sao tránh khỏi thiếu sót ! Cảm ơn các thầy nhiều ạ
Ngoài ra cho em hỏi là ngoài cách dùng đạo hàm bậc 2 ra thì còn cách nào khác không ạ ?

#thedarkness110
Bạn có thể dùng bảng biến thiên, ví dụ tìm đk m để hs ở trên đạt cực tiểu tại x = 0:
y'= 4x^3 +2mx = x.(4x^2 +2m)
y'= 0 khi chỉ khi x=0 hoặc 4x^2 +2m =0
Để ... thì pt 4x^2 +2m vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ( denta <=0) vì nếu có 2 nghiệm pb thì tại x = 0 là cực đại(dựa vào BBT) suy ra m >=0

Tương tự nếu tìm đk để tại x=0 hs đạt cực đại thì pt(1) có 2 nghiệm pb( dựa vào bbt) với đk 2 nghiệm đó khác nghiệm x=0( vì nếu 1 trong 2 nghiệm bằng 0 thì hs y'qua x=0 không đổi dấu) từ đó giải ra được m<0




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh