Chủ đề này có 9 trả lời

[chuyentoan]

CMR với mọi $n$ nguyên dương ta có ĐT sau:
$$\sum\limits_{i=0}^nC_{2n-i}^i2^{2n-2i}=2n+1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-03-2013 - 18:50

[dungCT]

CMR với mọi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n nguyên dương ta có BĐT sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum\limits_{i=0}^nC_{2n-i}^i2^{2n-2i}=2n+1

BĐT hay là ĐT

[chuyentoan]

Đẳng thức, nhầm

[anhminh]

quy nạp ???ThanIQ ?

[dhkhtn-tnt]

Bài này mình thử nhiều kiểu nhưng ko được.Chuyentoan có thể post lời giải ko??

[lehoan]

Đề bài này đâu có đúng mà bảo ta làm

Phải chữa lại là $\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{i}C_{2n-i}^i4^{n-i}=2n+1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-03-2013 - 18:51

[dhkhtn-tnt]

Nếu có $(-1)^{i}$ thì ko khó lắm....Có thể dùng kiểu sai phân như trong báo Toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-03-2013 - 18:50

[hxthanh]

CMR với mọi $n$ nguyên dương ta có ĐT sau:
$$\sum\limits_{i=0}^nC_{2n-i}^i2^{2n-2i}=2n+1$$

Bài này rõ ràng là đề không đúng, nhưng không sao, thế mới hay
Trước tiên ta xử lý bài toán "chuẩn" là:

CMR với mọi $n$ nguyên dương ta có ĐT sau:
$$S=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k{2n-k\choose k}2^{2n-2k}=2n+1$$

Dễ dàng biến đổi được:
$(-1)^k{2n-k\choose k}2^{2n-2k}=(-1)^k{n\choose k}\cdot\dfrac{(2n-k)!2^{n-k}}{n!(2n-2k-1)!!}$

Rồi ta có:
$(-1)^k{n\choose k}=\Delta\left[(-1)^{k-1}{n-1\choose k-1}\right]$

và: $\Delta\left[\dfrac{(2n-k)!2^{n-k}}{n!(2n-2k-1)!!}\right]=\dfrac{-(2n+1)(2n-k-1)!2^{n-1-k}}{n!(2n-2k-1)!!}$

Vì vậy theo SPTP, ta có:
\begin{align*}
S&=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}\cdot\dfrac{(2n-k)!2^{n-k}}{n!(2n-2k-1)!!}\\
&=\left.\left[(-1)^{k-1}{n-1\choose k-1}\right]\dfrac{(2n-k)!2^{n-k}}{n!(2n-2k-1)!!}\right|_{k=0}^{n+1}\\
&\quad - \sum\limits_{k=0}^n(-1)^k{n-1\choose k}\dfrac{-(2n+1)(2n-k-1)!2^{n-1-k}}{n!(2n-2k-1)!!}\\
&=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^k{n-1\choose k}\dfrac{(2n+1)(2n-k-1)!2^{n-1-k}}{n!(2n-2k-1)!!}\\
&=S_1
\end{align*}
Hoàn toàn tương tự đối với $S_1$, ta có:
$(-1)^k{n-1\choose k}=\Delta\left[(-1)^{k-1}{n-2\choose k-1}\right]$
và:
$\Delta\left[\dfrac{(2n+1)(2n-1-k)!2^{n-1-k}}{n!(2n-2k-1)!!}\right]=\dfrac{-(2n+1)(2n-1)(2n-2-k)!2^{n-2-k}}{n!(2n-2k-1)!!}$

v.v...

Sau $n$ bước SPTP, ta sẽ được:
\begin{align*}S&=S_n=\sum_{k=0}^{n-n}(-1)^k{n-n\choose k}\dfrac{(2n+1)!!(2n-n-k)!2^{n-n-k}}{n!(2n-2k-1)!!}=\dfrac{(2n+1)!!}{(2n-1)!!}\\&=2n+1\end{align*}


Tiếp theo, ta sẽ tìm cách tính tổng của đề bài sai trên kia!

Gợi ý

Hãy chứng minh rằng:
$S_n=6S_{n-1}-S_{n-2}$

[perfectstrong]

Em có 1 cách giải bằng hàm sinh (rất cảm ơn anh Lộc đã viết chuyền đề Hàm sinh )
Lời giải:
Nhắc lại định lý A
\[
\sum\limits_k^{} {\binom{n + ak}{m + bk}z^{n - m + \left( {a - b} \right)k} f_k } = \left[ {t^n } \right]\frac{{t^m }}{{\left( {1 - zt} \right)^{m + 1} }}f\left( {\frac{{t^{b - a} }}{{\left( {1 - zt} \right)^b }}} \right),\left( {b > a} \right)
\]
Áp dụng vào bài toán:
$$\begin{array}{rcl}
S &=& \sum\limits_{k = 0}^n {\left( { - 1} \right)^k \binom{2n - k}{k}2^{2n - 2k} } \\
& \mathop = \limits^A & \left[ {t^{2n} } \right]\dfrac{1}{{1 - 2t}}\left[ {f\left( {\frac{{t^2 }}{{1 - 2t}}} \right)|f\left( x \right) = \frac{1}{{1 + x}}} \right] \\
&=& \left[ {t^{2n} } \right]\frac{1}{{1 - 2t}}.\dfrac{1}{{1 + \dfrac{{t^2 }}{{1 - 2t}}}} \\
&=& \left[ {t^{2n} } \right]\frac{1}{{1 - 2t}}.\frac{{1 - 2t}}{{\left( {1 - t} \right)^2 }} \\
&=& \left[ {t^{2n} } \right]\frac{1}{{\left( {1 - t} \right)^2 }} \\
&=& \binom{2n + 1}{2n}=2n + 1
\end{array}$$

@supermember: tiền bản quyền cả gốc lẫn lãi tính rẻ 300K
Thanh Toán ngay, nếu không ngày mai sẽ có tráp yêu cầu hầu toà Hết
@perfectstrong: mắc thế anh Giảm giá cho anh em VMF đi Giảm con số 3 đi thì tuyệt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-03-2013 - 22:53