Bài 1. Cho đường tròn $\left(C\right): x^{2} + y^{2}-6x+2y-15=0$.Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $d: 3x-2y-6=0$ sao cho từ $M$ kẻ tới $\left(C\right)$ hai tiếp tuyến $MA,MB$ ($A,B$ là tiếp điểm) mà $AB$ đi qua điểm $C(0;1)$.
Bài 2. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Biết cạnh huyền nằm trên đường thẳng $d: x+7y-31=0$. Điểm $N(7;7)$ thuộc đường thẳng $AC$, điểm $M(2;-3)$ thuộc đường thẳng $AB$ và nằm ngoài đoạn $AB$.
Bài 1 :
$(C):(x-3)^2+(y+1)^2=25$ ---> $(C)$ có tâm $I(3;-1)$ và bán kính $R=5$
Giả sử tồn tại điểm $M$ thỏa mãn ĐK bài toán.Gọi hệ số góc của đường thẳng $MI$ là $k$ ($k\neq \frac{3}{2}$)
Phương trình đường thẳng $MI$ có dạng $y+1=k(x-3)$ hay $MI:kx-y-3k-1=0$ (1)
$(d):3x-2y-6=0$ (2)
(1),(2) $\Rightarrow x_{M}=3+\frac{5}{2k-3}$ ; $y_{M}=\frac{3k+3}{2k-3}$
Kẻ đường kính $PQ$ vuông góc với $MI$ ---> $PQ:x+ky+k-3=0$
Gọi $H$ là giao điểm của $MI$ và $AB$, ta có :
$HI=d_{(C,PQ)}=\frac{\left | 2k-3 \right |}{\sqrt{1+k^2}}$ (3)
$MI=\sqrt{(x_{I}-x_{M})^2+(y_{I}-y_{M})^2}=\sqrt{\frac{25+25k^2}{(2k-3)^2}}=\frac{5\sqrt{1+k^2}}{\left | 2k-3 \right |}$ (4)
Theo hệ thức lượng ta có $MI.HI=R^2=25$
Nhưng (3),(4) ---> $MI.HI=5$
Mâu thuẫn này chứng tỏ không có điểm $M$ nào thỏa mãn ĐK bài toán.
Bài 2 :
Hệ số góc của $(d)$ là $-\frac{1}{7}$
Gọi $(d')$ là đường thẳng tạo với $(d)$ một góc $45^o$ và giả sử $(d')$ có hệ số góc là $k$
$\tan 45^o=\tan (d,d')=\left | \frac{k+\frac{1}{7}}{1-\frac{k}{7}} \right |=\left | \frac{7k+1}{7-k} \right |$
$\Rightarrow k=\frac{3}{4}$ hoặc $k=-\frac{4}{3}$
a) Hệ số góc của $AB$ và $AC$ lần lượt là $\frac{3}{4}$ và $-\frac{4}{3}$
$AB:3x-4y-18=0$ (5)
$AC:4x+3y-49=0$ (6)
---> $A(10;3)$ ; $B(10;3)$ ; $C(10;3)$ ($A,B,C$ trùng nhau)
Nếu quy ước độ dài 3 cạnh tam giác phải là số dương thì trường hợp này loại.
b) Hệ số góc của $AB$ và $AC$ lần lượt là $-\frac{4}{3}$ và $\frac{3}{4}$
$AB:4x+3y+1=0$ (7)
$AC:3x-4y+7=0$ (8)
---> $A(-1;1)$ ; $B(-4;5)$ ; $C(3;4)$ (thỏa mãn)
Vậy đáp án là : $A(-1;1)$ ; $B(-4;5)$ ; $C(3;4)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 06-05-2015 - 18:54