phương trình hàm trên N(khó)
Bắt đầu bởi huaminhtuan, 01-09-2010 - 13:20
#1
Đã gửi 01-09-2010 - 13:20
tìm tất cả các hàm f:N->N thỏa:
f(n+1)>f(f(n)) (1)
mình nghĩ kết quả là f(n)=n n N nên đã đặt g(n)=f(n)-n <=> f(n)=g(n)+n rồi thay vào (1):
(1) => g(n+1)+n+1>g(f(n))+f(n)=g(f(n))+g(n)+n => 1>g((n))+g(n)-g(n+1)
nhưng tới đây thì
f(n+1)>f(f(n)) (1)
mình nghĩ kết quả là f(n)=n n N nên đã đặt g(n)=f(n)-n <=> f(n)=g(n)+n rồi thay vào (1):
(1) => g(n+1)+n+1>g(f(n))+f(n)=g(f(n))+g(n)+n => 1>g((n))+g(n)-g(n+1)
nhưng tới đây thì
#2
Đã gửi 01-09-2010 - 13:40
Đúng là $f(n)=n $ với $n \in N$tìm tất cả các hàm f:N->N thỏa:
f(n+1)>f(f(n)) (1)
mình nghĩ kết quả là f(n)=n n N nên đã đặt g(n)=f(n)-n <=> f(n)=g(n)+n r�#8220;i thay vào (1):
(1) => g(n+1)+n+1>g(f(n))+f(n)=g(f(n))+g(n)+n => 1>g((n))+g(n)-g(n+1)
nhưng tới đây thì
$R_f \subset N$ và $R_f$ khác rỗng nên theo nguyên lí cực biên $R_f$ có phần tử nhỏ nhất.
Dễ thấy phần từ nhỏ nhất của $R_f$ là $f(1)$ (do $f(2)>f(f(1)), f(3)>f(f(2))...$)
$f(1) \ge 1 \to f(n)>1$ khi $n>1$
Ta xét hàm bé hơn $f$ là: $ f: N / [1] \to N / [1]$
Tương tự ta lại có $f(2)$ là phần tử nhỏ nhất của $R_f$
$\to f(1) < f(2) \to f(n)>2$ khi $n>2$
Lại tiếp tục như trên , xét $f :N / [1,2] \to N / [1,2]$
..................................
Suy ra $f(1)<f(2)<....$ suy ra $f$ tăng và $f(n) \ge n$ với $n \in N$
Giả sử t�#8220;n tại $n_0$ để $f(n_0)>n_0$
$\to f(n_0) \ge n_0+1 \to f(f(n_0)) \ge f(n_0+1)$ mâu thuẫn giả thiết
Vậy tóm lại $f(n)=n$ với $n \in N$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 01-09-2010 - 13:44
Đã mang tiếng ở trong trời đất
Phải có danh gì với núi sông
Phải có danh gì với núi sông
#3
Đã gửi 04-09-2010 - 09:54
anh có thể giải thích rõ hơn khúc f(1) là phần tử nhỏ nhứt ko? em ko hiểu lắm
#4
Đã gửi 04-09-2010 - 12:26
anh có thể giải thích rõ hơn khúc f(1) là phần tử nhỏ nhứt ko? em ko hiểu lắm
Phản chứng thôi. giả sử tồn tại a>1 mà f(a) min
ta lại có f(a)>f(f(a-1)) điều này mâu thuẫn f(a) min, tồn tai f(a-1) thuộc N để f(f(a-1)) nhỏ hơn.
#5
Đã gửi 03-12-2010 - 13:08
tìm tất cả các hàm f:N->N thỏa:
f(n+1)>f(f(n)) (1)
mình nghĩ kết quả là f(n)=n n N nên đã đặt g(n)=f(n)-n <=> f(n)=g(n)+n rồi thay vào (1):
(1) => g(n+1)+n+1>g(f(n))+f(n)=g(f(n))+g(n)+n => 1>g((n))+g(n)-g(n+1)
nhưng tới đây thì
Đáp án ở đây.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh