Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 hp9570

hp9570

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

Đã gửi 02-09-2010 - 09:16

Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh $ a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc} $
Cách 1: Ta có hằng đẳng thức sau:
$a+b+c-\sqrt[3]{abc}=( \sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{bc}-\sqrt[3]{ca}) \geq 0$
Cách 2: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho 4 số:
$ a+b+c+d \geq 2 \sqrt{ab} + \sqrt{cd} \geq 4 \sqrt[4]{abcd} $
$ (\dfrac{a+b+c+d}{4})^4 \geq abcd$
Thay $ d=\dfrac{a+b+c}{3}$ ta được bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
Cách 3:(NG. Nguyễn Đức Tấn) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số:
$a+b+c+\sqrt[3]{abc} \geq 2 \sqrt{ab}+2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}} \geq 4 \sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}} =4 \sqrt[3]{abc} $
Từ đó có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 14-07-2015 - 09:25


#2 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 02-09-2010 - 11:15

uhm, t5reen bào TTT2 phải không bạn, hình như báo số 20 thì phải ???
kòn một cách hay nhất nữa trên báo 13 bạn thử post lên luôn đi cho đủ 4 cách ????

rongden_167


#3 hp9570

hp9570

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

Đã gửi 02-09-2010 - 19:24

Mình không có số báo TTT13, bạn có không post lên đi?

#4 tongduyquang

tongduyquang

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 27-11-2011 - 22:04

Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh $ a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc} $
Cách 1: Ta có hằng đẳng thức sau:
$a+b+c-\sqrt[3]{abc}=( \sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{bc}-\sqrt[3]{ca}) \geq 0$
Cách 2: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho 4 số:
$ a+b+c+d \geq 2 \sqrt{ab} + \sqrt{cd} \geq 4 \sqrt[4]{abcd} $
Hình đã gửi $ (\dfrac{a+b+c+d}{4})^4 \geq abcd$
Thay $ d=\dfrac{a+b+c}{3}$ ta được bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
Cách 3:(NG. Nguyễn Đức Tấn) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số:
$a+b+c+\sqrt[3]{abc} \geq 2 \sqrt{ab}+2 sqrt{c\sqrt[3]{abc}} \geq 4 \sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}} =4 \sqrt[3]{abc} $
Từ đó có đpcm.

Bro chi em chi tiet hon duoc ko, e chua hieu lam.

#5 tongduyquang

tongduyquang

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 27-11-2011 - 22:14

Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh $ a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc} $
Cách 1: Ta có hằng đẳng thức sau:
$a+b+c-\sqrt[3]{abc}=( \sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{bc}-\sqrt[3]{ca}) \geq 0$
Cách 2: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho 4 số:
$ a+b+c+d \geq 2 \sqrt{ab} + \sqrt{cd} \geq 4 \sqrt[4]{abcd} $
Hình đã gửi $ (\dfrac{a+b+c+d}{4})^4 \geq abcd$
Thay $ d=\dfrac{a+b+c}{3}$ ta được bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
Cách 3:(NG. Nguyễn Đức Tấn) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số:
$a+b+c+\sqrt[3]{abc} \geq 2 \sqrt{ab}+2 sqrt{c\sqrt[3]{abc}} \geq 4 \sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}} =4 \sqrt[3]{abc} $
Từ đó có đpcm.

Bro chi ro hon di, sao ko hieu.

#6 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 28-11-2011 - 23:25

Ở đây cũng có một số cách chứng minh BĐT Cauchy cho 3 số đây:
http://diendantoanho...ic=60082&st=120

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#7 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 21-01-2013 - 20:20

*Chứng minh bất đẳng thức $\text{Cauchy}$ cho $3$ số chi tiết hơn :
Ta cần chứng minh : $\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$ $\left ( a, b, c \geq 0 \right )$.
Đặt $\sqrt[3]{a} = x$ $,$ $\sqrt[3]{b} = y$ $,$ $\sqrt[3]{c} = z$ $\left ( x, y, z \geq 0 \right )$, ta có bất đẳng thức sau cần chứng minh :
$\frac{x^{3} + y^{3} + z^{3}}{3} \geq xyz$.
$\Leftrightarrow$ $x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3xyz$.
$\Leftrightarrow x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz \geq 0$.
$\Leftrightarrow \left ( x + y + z \right )\left ( x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - yz - zx \right ) \geq 0$.
Do $x, y, z \geq 0$ nên $x + y + z \geq 0$._____$(1)$
Ta quy về việc chứng minh :
$x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - yz - zx \geq 0$.
$\Leftrightarrow 2\left ( x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - yz - zx \right ) \geq 0$.
$\Leftrightarrow 2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - 2xy - 2yz - 2zx \geq 0$.
$\Leftrightarrow \left ( x^{2} - 2xy + y^{2} \right ) + \left ( y^{2} - 2yz + z^{2} \right ) + \left ( z^{2} - 2zx + x^{2} \right ) \geq 0$.
$\Leftrightarrow \left ( x - y \right )^{2} + \left ( y - z \right )^{2} + \left ( z - x \right )^{2} \geq 0$._____$(2)$
$(2)$ hiển nhiên đúng.
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\frac{x^{3} + y^{3} + z^{3}}{3} \geq xyz$.
Thay các điều kiện có ở đầu bài ta có :
$\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$ $\text{(đpcm)}$.
*Chứng minh bất đẳng thức $\text{Cauchy}$ cho $4$ số :
Áp dụng BĐT $\text{Cauchy}$ cho $2$ số không âm là làm được.

#8 toanc2tb

toanc2tb

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\large \mathfrak{\text{Mathematic}}$

Đã gửi 27-05-2014 - 17:19

Mọi người tổng quát chứng minh bđt Cauchy cho n số không âm giúp mình nhé!


"Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn." (Issac Newton)

"Khi mọi thứ dường như đang quay lưng với bạn, thì hãy luôn nhớ rằng máy bay cất cánh được khi bay ngược chiều chứ không phải thuận chiều gió"   :icon6:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :oto:  :oto:  


#9 Chucnguyenthi

Chucnguyenthi

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Đã gửi 02-08-2017 - 23:50

$cho x,y,z>0, biết x+y+z=1. Chứng minh x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4}{3}$



#10 Chucnguyenthi

Chucnguyenthi

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Đã gửi 02-08-2017 - 23:52

Cho x,y,z>0. x+y+z=1. Chứng minh x+ $\sqrt{x}$ +$\sqrt[3]{xyz}$$\leq$ $\frac{4}{3}$



#11 trongnam

trongnam

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 47 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thanh ha, hai duong
  • Sở thích:onepiece, naruto, toan

Đã gửi 04-08-2017 - 21:47

Mọi người tổng quát chứng minh bđt Cauchy cho n số không âm giúp mình nhé!

có nhiều cách mà, nhưng cách thông dụng nhất là dùng quy nạp






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh