tim x,y nguyen duong sao cho
x^3+y^3+1=3xy
GIAI BANG 3 CACH ????......
phuong trinh nghiem nguyen
Bắt đầu bởi Pham Le Minh, 03-09-2010 - 10:33
#1
Đã gửi 03-09-2010 - 10:33
#2
Đã gửi 03-09-2010 - 10:41
áp dụng Cauchy: $x^3+y^3+1\ge 3xy$, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi novae: 03-09-2010 - 10:42
KEEP MOVING FORWARD
#3
Đã gửi 03-09-2010 - 10:48
3 cach ma ban
#4
Đã gửi 03-09-2010 - 10:53
áp dụng hằng đẳng thức $2(x^3+y^3+1-3xy)=(x+y+1)((x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2)\ge 0$, .....
KEEP MOVING FORWARD
#5
Đã gửi 03-09-2010 - 11:00
con 1 cach
#6
Đã gửi 03-09-2010 - 15:10
Mình có cách này (nhưng mình nghĩ ko hay lém, bạn nào có cách khác hay hơn post típ nha;)con 1 cach
Cách3:Vì VP chia hết cho 3 nên $x^3$ + $y^3$ chia cho 3 dư 2
*Nếu x chia 3 dư 2 , y chia hết cho 3 thì $ x^3$ chia 9 dư 8, $y^3$ chia hết 9 suy ra VT không chia hết cho 9, khác vế phải. pt vn (tương tự khi y chia 3 dư 2, x chia hết cho 3)
Nếu x,y chia 3 dư 1 thì đặt x=3c+1, y=3d+1(c,d nguyên không âm), pt tương đương : $c^3$ + $d^3$ + $c^2$ + $d^2$ = cd
Áp dụng Cauchy cho 4 số dương thì
cd $>=$ 4cd.$ \sqrt{ cd}$.
*Nếu cd khác 0 chia 2 vế cho cd được cd $<=1/16$ vô lí vì c,d nguyên dương
Nếu c=d=0 BĐT đúng, thử vào pt thấy thỏa mãn .
Vậy (x;y)=(1:1) là nghiệm nguyên dương duy nhất của pt
.:Every day I love you:.
#7
Đã gửi 03-09-2010 - 15:12
x^3+y^3 >= xy(x+y)
suy ra
-1=x^3+y^3-3xy >= xy(x+y-3)
suy ra x+y-3<0 suy ra x=y=1 ( Do x,y nguyên dương)
Thử lại thấy đúng => ok
suy ra
-1=x^3+y^3-3xy >= xy(x+y-3)
suy ra x+y-3<0 suy ra x=y=1 ( Do x,y nguyên dương)
Thử lại thấy đúng => ok
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh