Chủ đề này có 2 trả lời

[supermember]

Bài Toán : 

Với số thực dương $a$ cho trước, tìm tất cả các hàm số khả vi cấp hai $ f : [0; + \infty) \to (0; + \infty)$ thỏa mãn :

$$ f(x) f^{''} (x) \leq -a, \forall x \geq 0$$

Với $a= 0$ thì liệu có tồn tại hàm số thỏa mãn điều kiện trên hay không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 28-06-2014 - 13:10

[ChinhLu]

Bài Toán : 

Với số thực dương $a$ cho trước, tìm tất cả các hàm số khả vi cấp hai $ f : [0; + \infty) \to (0; + \infty)$ thỏa mãn :

$$ f(x) f^{''} (x) \leq -a, \forall x \geq 0$$

Với $a= 0$ thì liệu có tồn tại hàm số thỏa mãn điều kiện trên hay không ?

Nguyễn Kim Anh

When $a=0$ it is quite easy to see that linear functions verify the requirement. It remains to consider the positive case, i.e when $a>0$. 

 

Observe first that $f'(x)$ decreases to some limit when $x$ goes to $+\infty$. This limit can not be negative. For, if it was negative one would obtain  

$$f(x)-f(N) = \int_N^x f'(t) dt \leq -c (x-N),$$

for some positive constant $c>0$ and here $N$ is some large real number.  This analysis  implies that when $x$ is big enough $f(x)<0$ which violates our hypothesis.

 

On the other hand, using $f(x) f^{"}(x)\leq -a$ one gets that the following (improper) integral  is convergent:

$$\int_0^{+\infty}\frac{dt}{f(t)}<+infty.$$

The proof of this claim should be considered as an easy exercise for the reader (using the same ideas as above).

 

But the claim can not be true since $f(t)  \leq  f(1)+ Ct$, for some positive constant $C$ since $f'(t)$ is bounded on $[1,+\infty)$.

 

Overall, there is no function satisfying all the conditions of the problem. 

[vanhuongsky]

$f(x)f''(x)\leq -a< 0 \Rightarrow f''(x)< 0 \Rightarrow f'(x)$ nghịch biến (1)

Nếu $\exists x_{0} : f'(x_{0})< 0\Rightarrow f(x)-f(x_{0})=\int_{x_{0}}^{x}f'(x)dx< \int_{x_{0}}^{x}f'(x_{0})dx \forall x> x_{0}$

$f(x)< f(x_{0})+(x-x_{0})f'(x_{0}) \forall x> x_{0}$

$\Rightarrow f(x)< 0 ; x\rightarrow \infty$ Điều này vô lí.

$\Rightarrow f'(x)\geq 0$ với mọi x (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\exists 0\leq b< \infty : \lim_{x\rightarrow +\infty }f'(x)= b$

Giả sử rằng : $\forall x\geq N \Rightarrow b+\varepsilon > f'(x)> b-\varepsilon$ với $0< \varepsilon < b ; \varepsilon < \frac{b}{5a}$

Từ bất đẳng thức ban đầu lấy tích phân hai vế có :

$0\geq \int_{N}^{x}(f(x)f''(x)+a)dx=\int_{N}^{x}f(x)f''(x)dx +a(x-N)$

$\Rightarrow 0\geq f(x)f'(x)-f(N)f'(N)-\int_{N}^{x}(f'(x))^2dx+a(x-N)$

Ta có :

$f(x)-f(N)=(x-N)f'(\epsilon _{x})> (x-N)(b-\varepsilon )$

$(f'(x))^2< (b+\varepsilon )^2$

Suy ra : $0\geq (x-N)(b-\varepsilon )^2+f(N)(b-\varepsilon )-f(N)f'(N)-(x-N)(b+\varepsilon )^2+a(x-N)$

$\Rightarrow 0\geq (x-N)(a-4b\varepsilon )+f(N)(b-\varepsilon )-f(N)f'(N)$ (3)

mà $a-4b\varepsilon > a-4b.\frac{a}{5b}> \frac{a}{5}> 0$

Do đó (3) không đúng khi $x\rightarrow +\infty$

Vậy không tồn tại $f(x)$ khi $a>0$

 Với $a=0$ xét hàm số $f(x)=ln(x+2)$ là một hàm thỏa mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanhuongsky: 28-06-2014 - 08:15