Chủ đề này có 5 trả lời

[at_95]

Cho $\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} =1$
CMR: $\dfrac{a^2}{a+bc} + \dfrac{b^2}{b+ca} +\dfrac{c^2}{c+ab} \geq \dfrac{a+b+c}{4} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi at_95: 05-09-2010 - 18:01

[h.vuong_pdl]

Một bài BDT khá đẹp + không khó:
giải bài này có nhiều cách lắm.
ta có gt <=> ab+bc+ca=abc => $a^2 + abc = a^2+ab+bc+ca = (a+b)(a+c)$
khi đó: $VT = \sum{\dfrac{a^3}{a^2+abc}} = \sum{\dfrac{a^3}{(a+b)(a+c)}}$
đến đây có thể quy đồng rồi áp dụng cô-si nhưng vs bài này thì hơi mạnh tay rồi, ta có thể áp dụng ngay BDT AM-GM:
$\dfrac{a^3}{(a+b)(a+c)} + \dfrac{a+b}{8} + \dfrac{a+c}{8} \ge \dfrac{3a}{4}$
làm các BDT tương tự rồi cộng lại + rút gọn ta đc đpcm ???

[h.vuong_pdl]

Bài trên hình như là từ phép đặt này mà ra thì phải:
cho $3^{-x} + 3^{-y} + 3^{-z} = 1$. Cmr:
$\dfrac{9^x}{3^x+3^{y+z}} + \dfrac{9^y}{3^y+3^{z+x}} + \dfrac{9^z}{3^z+3^{x+y}} \ge \dfrac{3^x+3^y+3^z}{4}$

[đat]

Cho $\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} =1$
CMR: $\dfrac{a^2}{a+bc} + \dfrac{b^2}{b+ca} +\dfrac{c^2}{c+ab} \geq \dfrac{a+b+c}{4} $

Mình có 1 cách khá hay muốn chia sẻ:
Ta có :
$\dfrac{{a^2 }}{{a + bc}} = a - \dfrac{{abc}}{{a + bc}} \ge a - \dfrac{{abc}}{{2\sqrt {abc} }} = a - \dfrac{{\sqrt {abc} }}{2}$
Xây dựng các bđt tương tự ta được:
$VT \ge a + b + c - \dfrac{{3\sqrt {abc} }}{2} \ge a + b + c - \dfrac{{3\left( {a + b + c} \right)}}{4} = \dfrac{{a + b + c}}{4}$

mình làm vội có gì sai sót mong các bạn chỉ ra giùm

[novae]

sai 2 chỗ:
1) dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=3$ nên chỗ đánh giá ở dòng thứ 3 từ trên xuống là sai
2)

$a+b+c-\dfrac{3\sqrt{abc}}{2}\ge a+b+c-\dfrac{3(a+b+c)}{4}$

chỗ đó tương đương với $a+b+c\ge 2\sqrt{abc}$?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi novae: 05-09-2010 - 21:29

[đat]

ra vậy! biết ngay là sai mà vì mình làm bài ko cần giả thiết. Cám ơn nhiều