Chủ đề này có 1 trả lời

[abstract]

Cho đa thức $P(x)>0 $ với $ \forall x$ và $deg f=n$. CMR:
$ \sum \limits_{i=0}^{n} P^{(i)}(x)>0 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 12-09-2010 - 21:28

[Ego]

Dễ thấy $\deg{P}$ chẵn. Hay $\lim_{n \to +\infty}P(x) = +\infty$
Đặt $L(x) = \sum_{i = 0}^{n}P^{i}(x)$. Khi đó $L'(x) = \sum_{i = 1}^{n}P^{i}(x)$. Do đó $L(x) = P(x) + L'(x)$ hay $P(x) = L(x) - L'(x)$
Do đó $\lim_{n \to +\infty}L(x) = +\infty$.
Xét $G(x) = e^{-x}.L(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$. Từ giới hạn trên, tồn tại $t$ để $G(t) > 0$
Khi đó $G'(x) = -e^{-x}.P(x) < 0 \; \forall x \in \mathbb{R}$
Nếu tồn tại $j$ để $L(j) \le 0$ hay $G(j) \le 0$ thì theo định lý Rolle, $G'(x)$ có ít nhất một nghiệm thực. Điều này vô lí. Do đó $L(x) > 0 \forall x$