Cho trước $n \in N*$. Chứng minh với mọi $n$ thì luôn tồn tại $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn:
$\dfrac{a^2+b}{a+b^2}=n$
Tồn tại vô số
Bắt đầu bởi abstract, 21-09-2010 - 21:56
#1
Đã gửi 21-09-2010 - 21:56
#2
Đã gửi 26-09-2010 - 08:38
Cho trước $n \in N*$. Chứng minh với mọi $n$ thì luôn tồn tại $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn:
$\dfrac{a^2+b}{a+b^2}=n$
$\dfrac{a^2+b}{a+b^2}=n (1)$
Cho $n=1$ thỏa mãn.
Xét n>1:
Case1: $n=m^2$:
1.1: $m\equiv 0(mod2)$. Khi đó ta chọn: $(a;b)=(\dfrac{m^5}{4}+\dfrac{m^2}{2}; \dfrac{m^4}{4})$
1.2: $m\equiv 1(mod2)$. khi đó chọn $(a;b)=(\dfrac{(m^2-m+2)(m^2+1)}{4}; \dfrac{m^2+1}{4})$
Case 2: $n$ không là số chính phương.
$(1) \Leftrightarrow a(a-n)=b(bn-1) (2)$
Đặt $gcd (a,b)=x\Rightarrow a=ux; b=vx; gcd(u;v)=1$.
Thay vào (2) ta có:
$u(ux-n)=v(nvx-1)$
$\Rightarrow \exists y\in N^*: \\ ux-n=yv; \\ nvx-1=yu$
Dễ dàng giải được:
$x=\dfrac{nu-v}{u^2-nv^2}; y=\dfrac{n^2v-u}{u^2-nv^2} (4)$
Nhận xét rằng nếu tồn tại $(u;v)$ thỏa mãn (4) và $x,y$ nguyên dương thì cũng tồn tại $(a;b)=(ux;vx)$ thỏa mãn
(1). Vậy ta chỉ cần cm tồn tại $(u_o;v_o)$ để $x,y$ nguyên dương thi bài toán được cm:
Do $n$ không là số chính phương nên xét phương trình Pell loại I : $u^2-nv^2=1$ luôn có nghiệm
nguyên dương $(u_o;v_o)$.
Khi đó: $x=nu_o-v_o ; y=n^2v_o-u_o$
Mặt khác để ý rằng $u^2_o-ny^2_o=1$ nên dễ dàng nhận thấy $x;y$ nguyên dương.
$\Rightarrow Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 26-09-2010 - 08:57
- chardhdmovies yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh