Đến nội dung

Hình ảnh

Tồn tại vô số

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
abstract

abstract

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
Cho trước $n \in N*$. Chứng minh với mọi $n$ thì luôn tồn tại $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn:
$\dfrac{a^2+b}{a+b^2}=n$
Đã mang tiếng ở trong trời đất
Phải có danh gì với núi sông


#2
NightBaron

NightBaron

    Quân Sư

  • Thành viên
  • 298 Bài viết

Cho trước $n \in N*$. Chứng minh với mọi $n$ thì luôn tồn tại $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn:
$\dfrac{a^2+b}{a+b^2}=n$



$\dfrac{a^2+b}{a+b^2}=n (1)$

Cho $n=1$ thỏa mãn.

Xét n>1:

Case1: $n=m^2$:

1.1: $m\equiv 0(mod2)$. Khi đó ta chọn: $(a;b)=(\dfrac{m^5}{4}+\dfrac{m^2}{2}; \dfrac{m^4}{4})$

1.2: $m\equiv 1(mod2)$. khi đó chọn $(a;b)=(\dfrac{(m^2-m+2)(m^2+1)}{4}; \dfrac{m^2+1}{4})$

Case 2: $n$ không là số chính phương.

$(1) \Leftrightarrow a(a-n)=b(bn-1) (2)$

Đặt $gcd (a,b)=x\Rightarrow a=ux; b=vx; gcd(u;v)=1$.

Thay vào (2) ta có:

$u(ux-n)=v(nvx-1)$

$\Rightarrow \exists y\in N^*: \\ ux-n=yv; \\ nvx-1=yu$

Dễ dàng giải được:

$x=\dfrac{nu-v}{u^2-nv^2}; y=\dfrac{n^2v-u}{u^2-nv^2} (4)$

Nhận xét rằng nếu tồn tại $(u;v)$ thỏa mãn (4) và $x,y$ nguyên dương thì cũng tồn tại $(a;b)=(ux;vx)$ thỏa mãn

(1). Vậy ta chỉ cần cm tồn tại $(u_o;v_o)$ để $x,y$ nguyên dương thi bài toán được cm:

Do $n$ không là số chính phương nên xét phương trình Pell loại I : $u^2-nv^2=1$ luôn có nghiệm
nguyên dương $(u_o;v_o)$.

Khi đó: $x=nu_o-v_o ; y=n^2v_o-u_o$

Mặt khác để ý rằng $u^2_o-ny^2_o=1$ nên dễ dàng nhận thấy $x;y$ nguyên dương.

$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 26-09-2010 - 08:57





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh