Tính $S= \sum\limits_{k=1}^{ \dfrac{p-1}{2} }[ \dfrac{k^2}{p}]$
#1
Đã gửi 26-09-2010 - 08:41
- hxthanh, marcoreus101 và nhungvienkimcuong thích
What if the rain keeps falling?
What if the sky stays gray?
What if the wind keeps squalling,
And never go away?
I still ........
#2
Đã gửi 26-03-2015 - 17:48
Cho $p$ là số nguyên tố.Tính $S= \sum\limits_{k=1}^{ \dfrac{p-1}{2} }[ \dfrac{k^2}{p}]$với $p \equiv 1\pmod4 $[x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x
bài này gần giống với bài trong $TST\ 2005$ nhỉ
U-Th
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 26-03-2015 - 17:49
- Ngoc Hung, ducbau007 và marcoreus101 thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#3
Đã gửi 27-03-2015 - 20:29
Cho $p$ là số nguyên tố.Tính $S= \sum\limits_{k=1}^{ \dfrac{p-1}{2} }[ \dfrac{k^2}{p}]$với $p \equiv 1\pmod4 $[x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x
vì $p\equiv 1(mod\ 4)\Rightarrow \exists n:p\mid n^2+1$
gọi $r_k$ là số dư khi chia $k$ cho $p$ do đó $k^2=\left [ \frac{k^2}{p} \right ].p+r_{k^2}$
$\Rightarrow S=\frac{1}{p}\left ( \sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}k^2-\sum_{k\in A}^{.}r_k \right )$ với $A=\left \{ 1^2,2^2,...,\left ( \frac{p-1}{2} \right )^2 \right \}$
do $p$ nguyên tố nên trong tập $B=\left \{ 1,2,...,p-1 \right \}$ có đúng $\frac{p-1}{2}$ lớp thặng dư bình phương,do đó
$\sum_{k\in A}^{.} r_k=\sum_{k\in A}^{.}r_{n^2k}=\sum_{k\in A}^{.}r_{-k}=\sum_{k\in A}^{.}(p-r_k)=\frac{p(p-1)}{2}-\sum_{k\in A}^{.}r_k\Rightarrow \sum_{k\in A}^{.}r_k=\frac{p(p-1)}{4}$
do đó ta có được
$S=\frac{1}{p}\left [ \frac{1}{6}\left ( \frac{p-1}{2} \right )\left ( \frac{p+1}{2} \right )p-\frac{p(p-1)}{4} \right ]=\frac{(p-1)(p-5)}{24}$
U-Th
- chanhquocnghiem và mnguyen99 thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh