Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * - - 2 Bình chọn

$\dfrac{1}{QM}+\dfrac{1}{QN}+\dfrac{1}{QP} \geq \dfrac{3}{R}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 30-09-2010 - 20:34

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O,R).Gọi Q là tâm đường tròn Ơ-le của tam giác ,M,N,P lần lượt là giao điểm của (O) với QA,QB,QC.(Q là trung điểm HO với H là trực tâm của tam giác ABC)
$CMR:\dfrac{1}{QM}+\dfrac{1}{QN}+\dfrac{1}{QP} \geq \dfrac{3}{R}$
P/s:Bạn nào có ý tưởng nào cứ nêu ra để tham khảo!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 28-04-2013 - 16:08

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đang ở ẩn

Đã gửi 28-04-2013 - 20:56

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O,R).Gọi Q là tâm đường tròn Ơ-le của tam giác ,M,N,P lần lượt là giao điểm của (O) với QA,QB,QC.(Q là trung điểm HO với H là trực tâm của tam giác ABC)
$CMR:\dfrac{1}{QM}+\dfrac{1}{QN}+\dfrac{1}{QP} \geq \dfrac{3}{R}$
P/s:Bạn nào có ý tưởng nào cứ nêu ra để tham khảo!

Hình như đầu bài có vấn đề ạ (cái chỗ màu đỏ), em nghĩ là sai vì $(O) \cap QA , QB , QC \equiv A, B, C$

@nhuannhi Là lính mới, bạn đọc bài hướng dẫn LaTeX ấy hoặc dùng nút fx.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 28-04-2013 - 21:00

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#3 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 29-04-2013 - 08:37



Hình như đầu bài có vấn đề ạ (cái chỗ màu đỏ), em nghĩ là sai vì $(O) \cap QA , QB , QC \equiv A, B, C$

@nhuannhi Là lính mới, bạn đọc bài hướng dẫn LaTeX ấy hoặc dùng nút fx.

Ghi như vậy thì nên hiểu là giao điểm thứ 2 với $(O)$,tức $(O)$ sẽ cắt cạnh đối của $QA,QB,QC$. :)


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 29-04-2013 - 10:19

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O,R).Gọi Q là tâm đường tròn Ơ-le của tam giác ,M,N,P lần lượt là giao điểm của (O) với QA,QB,QC.(Q là trung điểm HO với H là trực tâm của tam giác ABC)
$CMR:\dfrac{1}{QM}+\dfrac{1}{QN}+\dfrac{1}{QP} \geq \dfrac{3}{R}$
P/s:Bạn nào có ý tưởng nào cứ nêu ra để tham khảo!

- Chọn hệ tọa độ phức với đơn vị sao cho $(O;R)$ là đường tròn đơn vị. ( $z$ là tọa vị của mỗi điểm $Z$ ) 
- Ta có tọa vị của điểm trọng điểm $G$ là $\frac{a+b+c}{3}$, ta có điểm $Q$: $q=\frac{3g}{2}=\frac{a+b+c}{2}$
- Phương trình đường thẳng $QA$:$z(\bar{a}-\bar{q})-\bar{z}(a-q)+a\bar{q}-\bar{a}q=0$
- Phương trình giao điểm với đường tròn $z\bar{z}=1$ :
$z^2(\bar{a}-\bar{q})+z(a\bar{q}-\bar{a}q)-(a-q)=0$
- Có $QA$ giao $(O)$ tại hai điểm $A$ và $M$, $a$ và $m$ là 2 nghiệm của phương trình trên:
Theo Viète: $am=-\frac{a-q}{\bar{a}-\bar{q}}\Leftrightarrow m=-\frac{a-q}{a(\bar{a}-\bar{q})}=\frac{bc(a-b-c)}{-bc+ab+ac}$
- $|m-q|=\left|\frac{abc-a^2b-ab^2-a^2c-ac^2-b^2c-bc^2}{2(-bc+ab+ac)}\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{(a\bar{b}+\bar{a}b)+(a\bar{c}+\bar{a}c)+(c\bar{b}+\bar{c}b)-1}{-1+\bar{a}b+\bar{a}c}\right|$
- Theo đó: $\frac{1}{QM}+\frac{1}{QN}+\frac{1}{QP}=2\frac{|-1+\bar{a}b+\bar{a}c|+|-1+\bar{b}a+\bar{b}c|+|-1+\bar{c}a+\bar{c}b|}{|(a\bar{b}+\bar{a}b)+(a\bar{c}+\bar{a}c)+(c\bar{b}+\bar{c}b)-1|}$
Và $\frac{3}{R}=3$
- Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
$\frac{1}{QM}+\frac{1}{QN}+\frac{1}{QP}\geq 2\frac{|-3+(a\bar{b}+\bar{a}b)+(a\bar{c}+\bar{a}c)+(c\bar{b}+\bar{c}b)|}{|(a\bar{b}+\bar{a}b)+(a\bar{c}+\bar{a}c)+(c\bar{b}+\bar{c}b)-1|}$
Lại có $(a\bar{b}+\bar{a}b)+(a\bar{c}+\bar{a}c)+(c\bar{b}+\bar{c}b)=2(cos(2A)+cos(2B)+cos(2C))=2(-1-4cosAcosBcosC)=2(-1-4P)$
- Có $P=cosAcosBcosC\in \left(0;\frac{1}{8}\right]$ ( Tam giác nhọn )
- $\frac{1}{QM}+\frac{1}{QN}+\frac{1}{QP}\geq 2\left|\frac{5+8P}{3+8P}\right|\geq 3$ (Bất đẳng thức hiển nhiên đúng :')
- Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}
& \ P=cosAcosBcosC=\frac{1}{8} \\
& \ (-1+\bar{a}b+\bar{a}c)||(-1+\bar{b}a+\bar{b}c)||(-1+\bar{c}a+\bar{c}b)
\end{cases} $ Hay tam giác $ABC$ đều ^^~
(P/S a Phúc)
Spoiler

^^~

#5 Trungpbc

Trungpbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Toán,conan

Đã gửi 29-04-2013 - 15:58

Lời giải của bạn robin997 không được ngắn gọn cho lắm, xin giới thiệu với các bạn một lời giải sáng sủa hơn.

BĐT đã cho tương đương với: $$\frac{QA}{QM.QA}+\frac{QB}{QN.QB}+\frac{QC}{QC.QP}\geqslant \frac{3}{R}$$ Chú ý, $QM.QA=QN.QB=QP.QC=R^{2}-QO^{2}$ nên ta có thể viết BĐT trên lại dưới dạng: $$QA.OA+QB.OB+QC.OC\geqslant 3(R^{2}-QO^{2})$$ Ta có: $$QA.OA\geqslant \overrightarrow{QA}.\overrightarrow{OA}=\left ( \overrightarrow{QO}+\overrightarrow{OA} \right )\overrightarrow{OA} \geqslant \overrightarrow{QO}.\overrightarrow{OA}+OA^{2}$$ Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế với chú ý: $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{OQ}$$ Suy ra: $$QA.OA+QB.OB+QC.OC\geqslant \overrightarrow{QO}.2\overrightarrow{OQ}+3R^{2}=3R^{2}-2OQ^{2}\geqslant 3(R^{2}-OQ^{2})$$ BĐT được chứng minh, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ là tam giác đều.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trungpbc: 29-04-2013 - 16:02


#6 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 29-04-2013 - 21:36

Thay đổi yêu cầu bài toán 1 chút và cho $R=1$ thì ta có thêm bài toán "vui vui" sau:

 

Bài toán: Tìm GTLN của $QA^{\alpha}+QB^{\alpha}+QC^{\alpha}$ với $\alpha$ là số âm bất kỳ.


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#7 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-05-2013 - 15:55

Chấm bài:

robin997: 10 điểm

 

Trungpbc: 5 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh