Chủ đề này có 7 trả lời

[Duy1995]

Giải pt: $\sqrt{x^2+9x-1} +x \sqrt{11-3x} = 2x+3$

[jin195]

ĐKXĐ $ x\le\dfrac{-9-\sqrt{85}}{2} or \dfrac{-9+\sqrt{85}}{2}\le x \le \dfrac{11}{3} $
(1)=> $ x^2+9x-1+x^2(11-3x)+2x\sqrt{(x^2+9x-1)(11-3x)}=4x^2+12x+9 $ => $ 2x\sqrt{(x^2+9x-1)(11-3x)}=3x^3-8x^2+3x+10 $ => $ 4x^2(-3x^3-16x^2+102x-11)=(3x^3-8x^2+3x+10)^2 $ =>...=> $ 9x^6-36x^5+146x^4-396x^3-107x^2+60x+100=0 $ =>...=> $ (3x-10)(3x-2)(x^4+14x^2+12x+5)=0 $ => $(3x-10)(3x-2)[x^4+\dfrac{34x^2}{5}+(\dfrac{6x}{\sqrt5}+\sqrt5)^2]=0 $ => $ x=\dfrac{10}{3} or x=\dfrac{2}{3} $
Thử lại và nhận nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jin195: 02-10-2010 - 17:08

[Duy1995]

Liệu có cách nào ngắn gọn và hay hơn không?
Mình thấy lời giải này dài quá.

[PTH_Thái Hà]

Giải pt: $\sqrt{x^2+9x-1} +x \sqrt{11-3x} = 2x+3$

ĐK:...

$ \sqrt {{x^2} + 9x - 1} + x\sqrt {11 - 3x} = 2x + 3 $

$ \Leftrightarrow 12\sqrt {{x^2} + 9x - 1} + 12x\sqrt {11 - 3x} = 24x + 36 $

$ \Leftrightarrow 2\left[ {6\sqrt {{x^2} + 9x - 1} - \left( {9x + 8} \right)} \right] + 3x\left[ {4\sqrt {11 - 3x} - \left( {14 - 3x} \right)} \right] = $ $9{x^2} - 36x + 20 $

$ \Leftrightarrow 2.\dfrac{{36\left( {{x^2} + 9x - 1} \right) - {{\left( {9x + 8} \right)}^2}}}{{6\sqrt {{x^2} + 9x - 1} + \left( {9x + 8} \right)}} + 3x.\dfrac{{16\left( {11 - 3x} \right) - {{\left( {14 - 3x} \right)}^2}}}{{4\sqrt {11 - 3x} + \left( {14 - 3x} \right)}}=$ $ 9{x^2} - 36x + 20 $

$ \Leftrightarrow - 10.\dfrac{{9{x^2} - 36x + 20}}{{6\sqrt {{x^2} + 9x - 1} + \left( {9x + 8} \right)}} - 3x.\dfrac{{9{x^2} - 36x + 20}}{{4\sqrt {11 - 3x} + \left( {14 - 3x} \right)}}$ $ = 9{x^2} - 36x + 20 $

$ \Leftrightarrow \left( {9{x^2} - 36x + 20} \right)\left[ {\dfrac{{10}}{{6\sqrt {{x^2} + 9x - 1} + \left( {9x + 8} \right)}} + \dfrac{{3x}}{{4\sqrt {11 - 3x} + \left( {14 - 3x} \right)}} + 1} \right] $ $ = 0 $

$ \Leftrightarrow 9{x^2} - 36x + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{2}{3} \\ x = \dfrac{{10}}{3} \\ \end{array} \right. $


do $ \dfrac{{10}}{{6\sqrt {{x^2} + 9x - 1} + \left( {9x + 8} \right)}} + \dfrac{{3x}}{{4\sqrt {11 - 3x} + \left( {14 - 3x} \right)}} + 1 > 0 $

Đối chiếu với ĐK rồi kết luận

[jin195]

$ \dfrac{{10}}{{6\sqrt {{x^2} + 9x - 1} + \left( {9x + 8} \right)}} + \dfrac{{3x}}{{4\sqrt {11 - 3x} + \left( {14 - 3x} \right)}} + 1 > 0 $
em chưa hiểu chỗ này lắm,anh có thể nói rõ hơn được ko?

[PTH_Thái Hà]

$ \dfrac{{10}}{{6\sqrt {{x^2} + 9x - 1} + \left( {9x + 8} \right)}} + \dfrac{{3x}}{{4\sqrt {11 - 3x} + \left( {14 - 3x} \right)}} + 1 > 0 (1) $
em chưa hiểu chỗ này lắm,anh có thể nói rõ hơn được ko?

Chỗ này cũng đơn giản, xét các trường hợp là xong
Ta có
$ \dfrac{{10}}{{6\sqrt {{x^2} + 9x - 1} + 9x + 8}} + \dfrac{{3x}}{{4\sqrt {11 - 3x} + 14 - 3x}} + 1 $$ = \dfrac{{10}}{{6\sqrt {{x^2} + 9x - 1} + 9x + 8}} + \dfrac{{4\sqrt {11 - 3x} + 14}}{{4\sqrt {11 - 3x} + 14 - 3x}} >0 $

Nếu $ x \ge \dfrac{{ - 9 + \sqrt {85} }}{2} > 0 $ dễ thấy BĐT trên đúng
Nếu $ x \le \dfrac{{ - 9 - \sqrt {85} }}{2} < - 10 $
Đặt $ a = - x \Rightarrow a > 10 $. Khi đó
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 9a - 1} - a\sqrt {11 + 3a} = - 2a + 3 $

$ \Leftrightarrow a\sqrt {11 + 3a} = \sqrt {{a^2} - 9a - 1} + 2a - 3 $

$\left. \begin{array}{l} a > 10 \Rightarrow \sqrt {{a^2} - 9a - 1} < \sqrt {{a^2}} = a \\ 2a - 3 < 2a \\ \end{array} \right\} $ $ \Rightarrow \sqrt {{a^2} - 9a - 1} + 2a - 3 < 3a < a\sqrt {11 + 3a} $

=>PT (1) ko có nghiệm


Đúng ra thì phần xét $ x \le \dfrac{{ - 9 - \sqrt {85} }}{2} < - 10 $ nên đặt lên đầu thì bài toán sẽ chặt chẽ và logic hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PTH_Thái Hà: 03-10-2010 - 21:33

[jin195]

hic,làm vậy thì làm như em coi bộ còn ngắn hơn )

[PTH_Thái Hà]

hic,làm vậy thì làm như em coi bộ còn ngắn hơn )

thì anh có nói là cách ai ngắn hơn đâu
anh chỉ góp thêm 1 cách thôi mà