Đến nội dung

Hình ảnh

cần giúp đỡ :D


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
jin195

jin195

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
Cho 5 số thực dương $ a,b,c,d,e $ thỏa $ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=5 $
CMR
1/ $ \dfrac{a^2}{b+c+d}+\dfrac{b^2}{c+d+e}+\dfrac{c^2}{d+e+a}+\dfrac{d^2}{e+a+b}+\dfrac{e^2}{a+b+c}\ge\dfrac{5}{3} $
2/ $ \dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+d}+\dfrac{c^2}{d+e}+\dfrac{d^2}{e+a}+\dfrac{e^2}{a+b}\ge \dfrac{5}{2} $

#2
PTH_Thái Hà

PTH_Thái Hà

    David Tennant -- Doctor Who

  • Thành viên
  • 522 Bài viết
Sử dụng hệ quả của BĐT Bunyakovsky dạng:
$ \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{{a_i}^2}}{{{b_i}}}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)}^2}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }} $

ra ngay đpcm
Giải nhì quốc gia. Yeah

#3
jin195

jin195

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
em đã sử dụng nhưng không thấy nó "ra ngay" =.=

#4
PTH_Thái Hà

PTH_Thái Hà

    David Tennant -- Doctor Who

  • Thành viên
  • 522 Bài viết
bài 1

$ VT \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c + d + e} \right)}^2}}}{{3\left( {a + b + c + d + e} \right)}} = \dfrac{5}{3} $

bài 2

$ VT \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c + d + e} \right)}^2}}}{{2\left( {a + b + c + d + e} \right)}} = \dfrac{5}{2} $
Giải nhì quốc gia. Yeah

#5
jin195

jin195

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
đề cho $ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=5 $ mà :Rightarrow

#6
jin195

jin195

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
2 bài trên gần giống bài này:cho $ a,b,c,d,e $ dương thoải $ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=5 $ CMR
$ \dfrac{a^2}{b+c+d+e}+\dfrac{b^2}{c+d+e+a}+\dfrac{c^2}{d+e+a+b}+\dfrac{d^2}{e+a+b+c}+\dfrac{e^2}{a+b+c+d}\ge\dfrac{5}{4} $
bài này dùng Chebyshev thì làm dc được còn 2 bài trên thì chịu :Rightarrow

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jin195: 11-10-2010 - 23:02


#7
jin195

jin195

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
ai có ý tưởng gì mớikhông?Giúp mình với ...

#8
NightBaron

NightBaron

    Quân Sư

  • Thành viên
  • 298 Bài viết

Cho 5 số thực dương $ a,b,c,d,e $ thỏa $ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=5 $
CMR
1/ $ \dfrac{a^2}{b+c+d}+\dfrac{b^2}{c+d+e}+\dfrac{c^2}{d+e+a}+\dfrac{d^2}{e+a+b}+\dfrac{e^2}{a+b+c}\ge\dfrac{5}{3} $
2/ $ \dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+d}+\dfrac{c^2}{d+e}+\dfrac{d^2}{e+a}+\dfrac{e^2}{a+b}\ge \dfrac{5}{2} $


Mình làm bài 1 trước, bài 2 ý tưởng tương tự.

1.

Theo Cauchy-Schwarz:

$[\sum a^2(b+c+d)][\sum\dfrac{a^2}{b+c+d}]\ge (a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)^2=25$

Lại theo Cauchy-Schwarz:

$[\sum a^2(b+c+d)]^2\le [\sum a^2][\sum a^2(b+c+d)^2]\le [\sum a^2][\sum\dfrac{a^2(b^2+c^2+d^2)}{3}]$

Vậy chỉ cần tìm Max $\sum[a^2(b^2+c^2+d^2)]$ là xong.

Chú ý tới BDT:

$(x+y+z+t+k)^2\ge \dfrac{5}{2}(xy+xz+xt+xk+yz+yt+yk+zt+zk+tk)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 14-10-2010 - 23:27


#9
jin195

jin195

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết

Mình làm bài 1 trước, bài 2 ý tưởng tương tự.

1.

Theo Cauchy-Schwarz:

$[\sum a^2(b+c+d)][\sum\dfrac{a^2}{b+c+d}]\ge (a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)^2=25$

Lại theo Cauchy-Schwarz:

$[\sum a^2(b+c+d)]^2\le [\sum a^2][\sum a^2(b+c+d)^2]\le [\sum a^2][\sum\dfrac{a^2(b^2+c^2+d^2)}{3}]$

Vậy chỉ cần tìm Max $\sum[a^2(b^2+c^2+d^2)]$ là xong.

Chú ý tới BDT:

$(x+y+z+t+k)^2\ge \dfrac{5}{2}(xy+xz+xt+xk+yz+yt+yk+zt+zk+tk)$

cám ơn anh nhiều lắm,em cũng làm dc tới khúc tìm max của $\sum[a^2(b^2+c^2+d^2)]$ rồi tắc :D

#10
jin195

jin195

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
em xem lại cách giải này thí có vắn đề anh ạ: chỗ tìm max của $ \sum[a^2(b^2+c^2+d^2)] $ không thể dùng cái bđt phụ kia dc bởi vì$ a^{2}(b^2+c^2+d^2)+b^{2}(c^2+d^2+e^2)+c^{2}(d^2+e^2+a^2)+d^{2}(e^2+a^2+b^2)+e^2(a^2+b^2+c^2)=a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+a^{2}e^{2}+b^{2}c^{2}+2b^2d^2+2b^2.e^2+c^2.d^2+2c^2.e^2+d^2e^2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jin195: 16-10-2010 - 12:49





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh