Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đường cao của tứ giác


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-07-2005 - 11:36

Một đường cao của một tứ giác lồi là đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và vuông góc với cạnh đối.Chứng minh rằng bốn đường cao đồng quy khi và chỉ khi tứ giác là nội tiếp.
1728

#2 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 532 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-05-2013 - 19:55

Bài toán thuận đã có ở đây 

http://diendantoanho...a-d-xuống-bcab/

Như vậy, có thể phát biểu bài toán này tương đương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 06-05-2013 - 19:57


#3 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 09-07-2013 - 11:21

Gọi tứ giác lồi là ABCD

Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của tứ giác lồi ABCD có ME,NF,PG,QH là 4 đường cao.

+) Nếu ABCD nội tiếp đường tròn tâm O:

Gọi I là giao điểm của ME và PG (1) $\Rightarrow$ $QMIP$ là hình bình hành (vì $MI\parallel OP;PI\parallel OM$)

Mặt khác MNPQ cũng là hình bình hành. Do đó dễ dàng thấy ONIQ cũng là hình bình hành (vì  $MI\parallel OP;MN\parallel PQ\Rightarrow NI\parallel OQ\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & NI\parallel OQ\Rightarrow NI\perp AD\Rightarrow N,I,F thẳng hàng (2)& \\ & QI\parallel ON\Rightarrow QI\perp BC\Rightarrow Q,I,H thẳng hàng (3) & \end{matrix}\right.$

Từ (1),(2),(3) $\Rightarrow$ ME,NF,PG,QH đồng quy tại I.

+) Nếu 4 đường cao ME,NF,PG,QH đồng quy tại I

Gọi O là giao điểm 2 đường trung trực của AB,CD$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & OA=OB; OC=OD (4) & \\ & OMIP là hình bình hành & \end{matrix}\right.$

Mặt khác MNPQ cũng là hình bình hành

Tương tự như câu a ta cũng suy ra ONIQ là hình bình hành

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & OQ\parallel NI\Rightarrow OQ\perp AD\Rightarrow OQ là trung trực của AD \Rightarrow OA=OD (5) & \\ & ON\parallel QI\Rightarrow ON\perp BC\Rightarrow ON là trung trực của BC \Rightarrow OB=OC (6) & \end{matrix}\right.$

Từ (4),(5),(6)$\Rightarrow OA=OB=OC=OD$ $\Rightarrow ABCD$ nội tiếp (O).

Vậy bài đã được chứng minh. :icon6:  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 09-07-2013 - 18:43





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh