Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$ADM$ và $ABCM$ có cùng diện tích và cùng chu vi. Cm 2 cạnh của $ABCD$ cùng độ dài.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-07-2005 - 11:42

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $M$ là điểm trên cạnh $CD$ sao cho tam giác $ADM$ và tứ giác $ABCM$ có cùng diện tích và cùng chu vi. Chứng minh rằng hai cạnh nào đó của tứ giác $ABCD$ có cùng độ dài.

1728

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-06-2013 - 16:05

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này

Hoa hồng hi vọng  @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng (hoặc phủ định đúng) được bài toán này. Nếu hết ngày 20/06 mà vẫn không có ai giải được hoặc phủ định được bài toán này, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng  @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 20-06-2013 - 13:00

RRRTRTRTRTRT.png

Em chưa tìm ra nốt lời giải, nhưng ở đây là một phần của lời giải (chỉ là một ý nhỏ, không biết có đúng hướng hay ko?), phần còn lại ai tìm ra thì quá tốt: Gọi E,F,G,H,I lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA,BD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác ABCD. Xét điều kiện thứ nhất là tam giác ADM và tứ giác ABMD có cùng diện tích.Ta có: $S_{ADM}=S_{AID}+S_{DIC}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$. Ta thấy rằng nếu tồn tại một điểm M nằm trên cạnh CD sao cho các điều kiện đề bài được thỏa thì I phải nằm giữa O và C. Thât vậy theo nhận xét trên thì O không thể nằm ngoài đoạn DI vì nếu vậy sẽ dẫn đến M nằm ngoài đoạn thẳng CD. Bây giờ ta thấy, cũng từ nhận xét trên ta suy ra $S_{AIM}=S_{CIM}$. Từ đó suy ra IM//AC. Do vậy ta xác định được vị trí của điểm M. Xét điều kiện thứ hai là cùng chu vi. Đặt $AB=a,BC=b,CD=c,DA=d;(a,b,c,d>0)$. Khi đó ta có $AD+DM+AM=AB+BC+CM+AM\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} d+DM=a+b+c-DM\\d+c-CM=a+b+CM \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} DM=\frac{a+b+c-d}{2}\\CM=\frac{c+d-a-b}{2} \end{matrix}\right.$. Sau đó áp dụng định lí Ta lét ta được: $OB=\frac{BD.c}{a+b+c-d};OD=\frac{BD.(a+b-d)}{a+b+c-d}$. Em chỉ bít đến đây thôi. Phần còn lại thì mong có người tìm ra... 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 20-06-2013 - 13:00

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#4 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 20-06-2013 - 15:20

ScreenHunter_68 Jun. 20 16.05.jpg

Có cách khác để dẫn đến bổ đề trên:

$F$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

$\frac{S_{ADC}}{S_{ABC}}=\frac{DF}{FB}$.

Nếu $M$ nằm trên cạnh $CD$ thì $DF>FB$.

Từ $B$ kẻ $BE//AC$ ($E$ thuộc $CD$)

Suy ra: $S_{ABC}=S_{ACE}$

Ta có: $S_{ADE}=S_{ACD}+S_{ACE}=S_{ACD}+S_{ABC}=S_{ABCD}$ 

Gọi $M'$ là trung điểm $DE$ nên $S_{ADM}=\frac{S_{ABCD}}{2}$ nên $M$ trùng $M'$, ta xác định được vị trí điểm $M$.

Từ chu vi ta có hệ thức: $AD+CE=AB+BC$

Có 6 hoán vị cho các cạnh của tứ giác ABCD bằng nhau.

$AB=BC: AD+CE=2AB$

$AB=CD: AD=BC+2MC$

$BC=CD: AD=AB+2MC$

$BC=AD: CE=AB$ Suy ra $ABCE$ là hình bình hành hay hình thang cân (loại)

$AB=AD: CE=BC \Rightarrow \triangle BCE$ cân (loại)

$CD=AD: DE=AB+AC$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 20-06-2013 - 17:42


#5 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 26-08-2013 - 16:49

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $M$ là điểm trên cạnh $CD$ sao cho tam giác $ADM$ và tứ giác $ABCM$ có cùng diện tích và cùng chu vi. Chứng minh rằng hai cạnh nào đó của tứ giác $ABCD$ có cùng độ dài.

Đề bài không luôn luôn đúng, ta có một ví dụ...

https://docs.google....nZsQXUtTms/edit

( Với $j=AB+BC+CM$, $k=AD+DM$ )
^^~




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh