Chủ đề này có 10 trả lời

[shootstar]

Tìm tất cả các hàm f:R-->R t/m:
$ f(x^2 - y^2 )=(x-y)(f(x)-f(y)) $ với mọi $ x,y \in R$

[flavor_fall]

Tìm tất cả các hàm f:R-->R t/m:
$ f(x^2 - y^2 )=(x-y)(f(x)-f(y)) $ với mọi $ x,y \in R$

ngố ơi bài này trong quyển cua NGUYỄN TRỌNG TUẤN mà hum nào t mang cho

[dark templar]

ngố ơi bài này trong quyển cua NGUYỄN TRỌNG TUẤN mà hum nào t mang cho

vậy bạn có thể post bài giải lên cho mình tham khảo đc ko vì mình cũng đang học PTH ,hôm nay gặp bài này lạ quá nên muốn xem cách giải !Thanks trước!

[shootstar]

bài này mình tìm thấy trên mạng. trong quyển của Nguyễn Trọng Tuấn chỉ có một bài tương tự nhưng k hẳn giống bài này.mọi người giải thứ xem nhé

[NightBaron]

Tìm tất cả các hàm f:R-->R t/m:
$ f(x^2 - y^2 )=(x-y)(f(x)-f(y)) $ với mọi $ x,y \in R$

Gia su ton tai ham $f$ thoa man:

Cho $x=y, \Rightarrow f(0)=0$.

Cho $y=0\Rightarrow f(x^2)=xf(x), \forall x,y\in R$. (1)

Cho: $x=0\Rightarrow f(-y^2)=yf(y)\Rightarrow f(-x^2)=xf(x), \forall x,y\in R$.

Do do:

$f(x^2)=f(-x^2)\Rightarrow f(x)$ la ham so chan. Vay ta chi can quan tam toi cac gia tri duong cua $x$.

Dat: $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}\Rightarrow g(x)$ lien tuc tren $(0;+\infty)$.

Thay vao (1) co:

$g(x^2)=g(x), \forall x>0$.

$\Rightarrow g(x)=g(\sqrt{x})=g(\sqrt[4]{x})=....=g(\sqrt[2n]{x})$

Khi $n\rightarrow +\infty\lim \sqrt[2n]{x}=1 \forall x>0$ (chieu nay thay Binh vua noi)

$\Rightarrow n\rightarrow +\infty$ thi $g(x)=g(1)$.

$\Rightarrow f(x)=xg(x)=xg(1)=xf(1)$.

$\Rightarrow f(x)=ax (a=f(1))$

thay vao pt ban đầu suy ra $a=0$.

$\Rightarrow f(x)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 31-10-2010 - 16:42

[novae]

http://www.artofprob...v...36&t=372818

[NguyThang khtn]

anh nightbaron con lam toan bang tieng anh nua that kinh khung!

[shootstar]

Gia su ton tai ham $f$ thoa man:

Cho $x=y, \Rightarrow f(0)=0$.

Cho $y=0\Rightarrow f(x^2)=xf(x), \forall x,y\in R$. (1)

Cho: $x=0\Rightarrow f(-y^2)=yf(y)\Rightarrow f(-x^2)=xf(x), \forall x,y\in R$.

Do do:

$f(x^2)=f(-x^2)\Rightarrow f(x)$ la ham so chan. Vay ta chi can quan tam toi cac gia tri duong cua $x$.

Dat: $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}\Rightarrow g(x)$ lien tuc tren $(0;+\infty)$.

Thay vao (1) co:

$g(x^2)=g(x), \forall x>0$
$\Rightarrow g(x)=g(\sqrt{x})=g(\sqrt[4]{x})=....=g(\sqrt[2n]{x})$

Khi $n\rightarrow +\infty\lim \sqrt[2n]{x}=1 \forall x>0$ (chieu nay thay Binh vua noi)

$\Rightarrow n\rightarrow +\infty$ thi $g(x)=g(1)$.

$\Rightarrow f(x)=xg(x)=xg(1)=xf(1)=0$.

Thu lai $\Rightarrow Q.E.D$

có thể coi$ f(1)=k$:hằng số dc k?? như vậy thì $f(x) = kx$(t/m)

[novae]

tất nhiên

[NightBaron]

tất nhiên

Bài viết đã được sửa chữa!

[shootstar]

Bài viết đã được sửa chữa!

uh cám ơn nhé.tớ cứ tưởng thỏa mãn