Chủ đề này có 38 trả lời

[tho ngok Tg]

huhu.thế là mất hết hi vọng rùi

[inhtoan]

2)tính sin 18 độ

Cách 1. Đặt $a=18^\circ $.
Vì $\sin 18^\circ = \cos 72^\circ $ nên $sina=cos4a$. (1)
Ta có
$\cos 4a = 2{\cos ^2}2a - 1 = 2{(1 - 2si{n^2}a)^2} - 1.$
Đặt $t = \sin a,0 < t < 1$ thì (1) trở thành
$t = 2{(1 - 2{t^2})^2} - 1$
$\Leftrightarrow 8{t^4} - 8{t^2} - t + 1 = 0$
$\Leftrightarrow (t - 1)(2t + 1)(4{t^2} + 2t - 1) = 0$
Vì $0<t<1$ nên pt trên có nghiệm duy nhất là
$t = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{4}$.

Cách 2.
Ta có $\sin 36^\circ \sin 108^\circ = 4\sin 18^\circ \cos 18^\circ \sin 54^\circ \cos 54^\circ .$ (2)
Lại có $\sin 108^\circ = \sin (90^\circ + 18^\circ ) = \cos 18^\circ $ và $\sin 36^\circ = \cos 54^\circ .$ Do đó (2) trở thành
$1 = 4\sin 18^\circ \sin 54^\circ \Leftrightarrow 1 = 2\cos 36^\circ - 2\cos 72^\circ \Leftrightarrow 1 = 2\cos 36^\circ - 2\sin 18^\circ $
Đặt $t = \sin 18^\circ (0 < t < 1),$ ta suy ra
$2(1 - 2{t^2}) - 2t = 1 \Leftrightarrow 4{t^2} + 2t - 1 = 0$
$\Leftrightarrow t = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{4}.$

[tho ngok Tg]

Cảm ơn anh nha!huhu.càng xem càng thất vọng về mh quá

[tho ngok Tg]

HUHU
h thì thất vọng thiệt rùi.rớt lăn lông lốc rùi

[tho ngok Tg]

bây h phải lấy lại tinh thần thui.mọi người giúp mh bài ni nè
1] cho x,y dương thỏa mãn xy+x+y=1
tìm Min P= $ \dfrac{1}{x+y} +\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tho ngok Tg: 27-11-2010 - 20:56

[tho ngok Tg]

ôi.hùng mô rùi.mới ở đây mà.k ai giúp tui hử

[dark templar]

bây h phải lấy lại tinh thần thui.mọi người giúp mh bài ni nè
1] cho x,y dương thỏa mãn xy+x+y=1
tìm Min P= $ \dfrac{1}{x+y} +\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y} $

Bài này ko có GTNN
Chứng minh:
$A = \dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\left( {x,y > 0;xy + x + y = 1} \right) $
$\Rightarrow A > 0;x,y \in \left( {0;1} \right) $
$A = \dfrac{{xy + \left( {x + y} \right)^2 }}{{\left( {x + y} \right)xy}} = \dfrac{{\left( {x + y} \right)^2 - \left( {x + y} \right) + 1}}{{\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)^2 }} $
$\Leftrightarrow \left( {A + 1} \right)\left( {x + y} \right)^2 - \left( {A + 1} \right)\left( {x + y} \right) + 1 = 0 $
$\Delta = \left( {A + 1} \right)^2 - 4\left( {A + 1} \right) = \left( {A - 3} \right)\left( {A + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow A \ge 3 $
$A = 3 \Leftrightarrow x + y = \dfrac{{A + 1}}{{2\left( {A + 1} \right)}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = \dfrac{1}{2} \\ x + y = \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x,y \in \emptyset $
$\Rightarrow A > 3 $

[tho ngok Tg]

Cmar ơn a nhiều nha.a giỏi nhỉ

[tho ngok Tg]

xl

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tho ngok Tg: 28-11-2010 - 00:24

[tho ngok Tg]

Từ y+1) + y = 1, ta có: xy + x + y =1 ...Chia cả 2 vế cho (x+y), ta có:

xy/( x+ y) + 1 = 1/ (x+y). (**)

Thay (**) vào P, ta được:
P = [xy/ (x+y) + 1] + 1 /x + 1/y = [ xy/ (x+y) + 1 ] + (x + y)/ (xy).

Suy ra... P= 1 + [ xy/ (x+y) + (x+y)/ xy] = 1 + [(xy)^2+ (x+y)^2] / [xy. (x+y)].
Do x, y dương nên theo BDT cauchy, ta có:

( xy)^2 + ( x+ y) ^2 >= 2 [xy. (x+y)].

do đó: P >= 1 + 2 [xy. (x+y)] / [xy. (x+y)] = 3.

Suy ra MIn P = 3 khi xy = (x+ y) (***) do dấu = chỉ xảy ra khi có đk này.

Ta có hệ : và (***), giải hệ, ta đc:

xy = (x+ y) = 1/2.

=> x= 1/ (2y) với mọi y dương.

[inhtoan]

Bài này ko có GTNN

Mình dùng đạo hàm tìm được GTNN của nó...bạn thử kiểm tra xem có đúng không nhé.
$A = \dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{{x + y}}{{xy}}$
Đặt $S = x + y,P = xy,$ suy ra $S + P = 1$ và $0<S,P<1$. Khi đó x,y là nghiệm của phương trình $X^2-SX+P$ và A trở thành
$A = \dfrac{1}{S} + \dfrac{S}{{1 - S}}$
Ta có điều kiện để tồn tại $S,P $ sao cho có nghiệm $x,y $ thỏa mãn $x+y=1$ với $x,y>0$ là
$\left\{ \begin{array}{l}{S^2} - 4P \ge 0\\ 0 < S,P < 1\\S + P = 1\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt 2 - 2 \le S < 1\\P = 1 - S\end{array} \right.$
Xét hàm $f(S) = \dfrac{1}{S} + \dfrac{S}{{1 - S}}$ trên nửa khoảng $[2\sqrt 2 - 1;1)$. Ta có
$f'(S) = - \dfrac{1}{{{S^2}}} + \dfrac{1}{{{{(1 - S)}^2}}}$
$ = \dfrac{{2S - 1}}{{{S^2}{{(1 - S)}^2}}} > 0,\forall S \in (2\sqrt 2 - 2;1)$
Vì hàm $f(S)$ liên tục và xác định trên $[2\sqrt 2 - 1;1)$ nên hàm $f(S)$ đồng biền trên nửa khoảng $[2\sqrt 2 - 2;1)$ và ta có
$f(S) \ge \dfrac{1}{{2\sqrt 2 - 2}} + \dfrac{{2\sqrt 2 - 2}}{{3 - 2\sqrt 2 }}=\dfrac{5}{2}(\sqrt2 +1),\forall S \in [2\sqrt 2 - 2;1)$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow S = 2\sqrt 2 - 2$. Khi đó phương trình $X^2-SX+P$ có nghiệm kép hay ta có
$x = y = \dfrac{{ S}}{2} = \sqrt 2 - 1.$
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất $A=\dfrac{5}{2}(\sqrt2 +1)$ khi $x = y = \sqrt 2 - 1.$

p/s: Cách làm hơi dài dòng và cỏ thể đôi chỗ còn chưa chặt chẽ, mọi người kiểm tra lại hộ mình xem còn sai xót chỗ nào không. Nếu kết quả của mình đúng thì tho ngok Tg có thể tìm cách giải khác cho bài toán (mà không cần dùng đạo hàm)...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 28-11-2010 - 08:58

[dark templar]

Ban đầu mình đã định sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nhưng vì đây là forum cấp 2 nên mới đành sử dụng pp miền giá trị của hàm số ,ai ngờ vẫn có chỗ sai sót .
Àh!mà phần đạo hàm lúc bạn quy đồng lên là sai rồi nhé!Phải là $f'(S)=\dfrac{2S-1}{S^2(1-S)^2}$ nhưng kết quả vẫn đúng !
P/s:bạn tho ngoc tq làm sai rồi !Bạn tìm đc GTNN là 3 khi $xy=x+y$ phải ko ?Vậy bạn đã giải thử hệ $ \left\{\begin{array}{l}xy=\dfrac{1}{2}\\x+y=\dfrac{1}{2}\end{array}\right. $ chưa ?(vì $xy+x+y=1;xy=x+y \Rightarrow xy=x+y=\dfrac{1}{2}$).Mình chắc chắn hệ đó ko có nghiệm thực đâu!!!Bạn cứ sử dụng định lý Vi-ét đảo đi thì biết !!!!

[inhtoan]

Ban đầu mình đã định sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nhưng vì đây là forum cấp 2 nên mới đành sử dụng pp miền giá trị của hàm số ,ai ngờ vẫn có chỗ sai sót .
Àh!mà phần đạo hàm lúc bạn quy đồng lên là sai rồi nhé!Phải là $f'(S)=\dfrac{2S-1}{S^2(1-S)^2}$ nhưng kết quả vẫn đúng !
P/s:bạn tho ngoc tq làm sai rồi !Bạn tìm đc GTNN là 3 khi $xy=x+y$ phải ko ?Vậy bạn đã giải thử hệ $ \left\{\begin{array}{l}xy=\dfrac{1}{2}\\x+y=\dfrac{1}{2}\end{array}\right. $ chưa ?(vì $xy+x+y=1;xy=x+y \Rightarrow xy=x+y=\dfrac{1}{2}$).Mình chắc chắn hệ đó ko có nghiệm thực đâu!!!Bạn cứ sử dụng định lý Vi-ét đảo đi thì biết !!!!

uhm, mình đã sửa lại...Kết quả thì đúng rồi nhưng mình chưa tìm được lời giải phù hợp hơn với THCS.

[nguyen thai phuc]

uhm, mình đã sửa lại...Kết quả thì đúng rồi nhưng mình chưa tìm được lời giải phù hợp hơn với THCS.

Mấy anh học nhiều thứ cao siêu quá => lậm cả rồi ).
$\begin{array}{l} x + y + xy = 1 \Rightarrow 8 = 4\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) \le {\left( {x + y + 2} \right)^2} \\ \Rightarrow x + y \ge 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right) \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} P = \dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{{4{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}}}{{x + y}} + \dfrac{1}{{xy}} - 1 + \dfrac{{1 - 4{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}}}{{x + y}} \\ \ge {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 1 + \dfrac{{1 - 4{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} = \dfrac{{5\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{2} \\ \end{array}$
P/S: may là có đoạn tính toán anh Inhtoan làm cho rồii, ko thì chết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen thai phuc: 28-11-2010 - 14:12

[perfectstrong]

Mấy anh học nhiều thứ cao siêu quá => lậm cả rồi ).
$\begin{array}{l} x + y + xy = 1 \Rightarrow 8 = 4\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) \le {\left( {x + y + 2} \right)^2} \\ \Rightarrow x + y \ge 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right) \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} P = \dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{{4{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}}}{{x + y}} + \dfrac{1}{{xy}} - 1 + \dfrac{{1 - 4{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}}}{{x + y}} \\ \ge {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 1 + \dfrac{{1 - 4{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} = \dfrac{{5\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{2} \\ \end{array}$
P/S: may là có đoạn tính toán anh Inhtoan làm cho rồii, ko thì chết

Anh Phúc ơi, anh coi lại bài làm của anh cái. Hình như anh làm bị ngược dấu rồi. Mà anh viết rõ hơn được không. Em đọc hiểu lờ mờ quá.

[nguyen thai phuc]

Anh Phúc ơi, anh coi lại bài làm của anh cái. Hình như anh làm bị ngược dấu rồi. Mà anh viết rõ hơn được không. Em đọc hiểu lờ mờ quá.

À. Không đâu:P. Cái chỗ mà .../(x+y) thì tử số của nó là âm nên anh mới làm thế .
P/S: mà là "anh" thật à . Em sinh 95 hay 96

[tho ngok Tg]

có bài BDT đêy nè
1)
cho x,y,z >0 tmdk
$ \dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y} +\dfrac{1}{z} \leq 3(x+y+z)( xy+yz+xz)$
tìm MIN
S= $ \dfrac{xy}{z^2 +1}+\dfrac{yz}{x^2 +1}+\dfrac{xz}{y^2 +1} $
tạm thời post chỉ bài ni thui nha
khi nào có time post típ ha
mà bài trên mh nhân cả 2 vế vs x+y+z dk 9 VP
ui dùng cosi ngược ở S nhưng lẹ bị ngược dấu ===> tịt luôn===>bó tay.com.nước mắm.muối luôn
hik

[3T-29]

Ta có : $S=\dfrac{(xy)^2}{z^2xy+xy}+\dfrac{(zy)^2}{x^2zy+yz}+\dfrac{(xz)^2}{x^2zy+zy}$$ \geq \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{xyz(x+y+z)+(xy+yz+zx)}$ ( bất đẳng thức S-vác) (1)

Áp dụng bất đẳng thức: $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)$ có:
$(xy+yz+zx)^2\geq3(xy.yz+yz.zx+xy.zx)=3xyz(x+y+z)$

Lại có: $\dfrac{xy+yz+zx}{xyz} \leq 3(x+y+z)(xy+yz+zx)$ ( suy ra từ gt)

$1\leq3xyz(x+y+z)$ $1\leq\sqrt{3xyz(x+y+z)}\leq{xy+yz+zx}$

$3(xy+yz+zx)^2\geq3(xy+yz+zx)$

Suy ra $3(xy+yz+zx)^2+(xy+yz+zx)^2\geq3xyz(x+y+z)+3(xy+yz+zx)$

$\dfrac{(xy+yz+zx)^2}{xyz(x+y+z)+(xy+yz+zx)}\geq\dfrac{3}{4}$ (2)

Từ (1), (2) suy ra: $S\geq\dfrac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

[tho ngok Tg]

cuối cùng đúng lag dùng BDT hè