Bài 2. Tìm tất cả các hàm f: R -> R thỏa mãn $f(xy-f(z))=f(x)f(y)-z$
Cho x=f(z),y=z có $f(0)=f(1)f(f(z))-z$
dễ thấy $f(1) \neq 0$ nên hàm f là 1 song ánh với R.
Nên tồn tại duy nhất c mà f©=0
cho y=z=c thì $f(cx)=-c$, vì f ko là hàm hằng suy ra $c=0$ và $f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$
Cho z=0 có $f(xy)=f(x)f(y)$ suy ra f(1)=1
suy ra $f(f(z))=z$
Cho y=1 có $f(x-f(z))=f(x)-z$,thay z=f(z) suy ra $f(x-z)=f(x)-f(z)$
suy ra f là hàm cộng tính và có $f(z)=-f(-z)$
nên ta chỉ xét $x>0$
chú ý vì $f(x^2)=f(x)^2>0$ nên $f(x)>0 $ với mọi x>0
nên f là hàm cộng tính,đơn điệu trên R+ nên f(x)=ax+b
thử lại có f(x)=x