Chủ đề này có 7 trả lời

[phuongpro]

Bài 1(5 điểm)
1.giải phương trình:$(5x-6)^{2}-\dfrac{1}{\sqrt{5x-7}}= x^{2} -\dfrac{1}{ \sqrt{x-1} } $
2.Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm:
$x^{3}+3x^{2}-1\leq m(\sqrt{x} -\sqrt{x-1} )^{3}$
bài 2(3 điểm)
giả sử M là một điểm trong tam giác ABC sao cho$\widehat{MAB} =\widehat{MBC}=\widehat{MCA} = \alpha $
CMR:$cot\alpha=cotA+cotB+cotC$
bài 3(6 điểm)
Cho điểm O cố định và số thực dương a không đổi.Một hình chóp S.ABC thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đồng thới các điều kiện sau:OA=OB=OC=a, SA$ \perp OA,SB\perp OB,SC\perp OC,\widehat{ASB} =90^{0},\widehat{BSC} =60^{0},\widehat{CSA} =120^{0}$.Chứng minh:
a.tam giác ABC là tam giác vuông.
b.Điểm S luôn cách O một khoảng không đổi.
bài 4(3 điểm)
bài 5(3 điểm)
cho các số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện:x+y+1=3xy
tìm Max:M=$ \dfrac{3x}{y(x+1)} + \dfrac{3y}{X(y+1)} -\dfrac{1}{x^{2}} -\dfrac{1}{y^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuongpro: 26-10-2010 - 15:57

[PTH_Thái Hà]

Bài 1(5 điểm)
1.giải phương trình:$(5x-6)^{2}-\dfrac{1}{\sqrt{5x-7}}= x^{2} -\dfrac{1}{ \sqrt{x-1} } $
2.Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm:
$x^{3}+3x^{2}-1\leq m(\sqrt{x} -\sqrt{x-1} )^{3}$
bài 2(3 điểm)
giả sử M là một điểm trong tam giác ABC sao cho$\widehat{MAB} =\widehat{MBC}=\widehat{MCA} = \alpha $
CMR:$cot\alpha=cotA+cotB+cotC$
bài 3(6 điểm)
Cho điểm O cố định và số thực dương a không đổi.Một hình chóp S.ABC thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đồng thới các điều kiện sau:OA=OB=OC=a, SA$ \perp OA,SB\perp OB,SC\perp OC,\widehat{ASB} =90^{0},\widehat{BSC} =60^{0},\widehat{CSA} =120^{0}$.Chứng minh:
a.tam giác ABC là tam giác vuông.
b.Điểm S luôn cách O một khoảng không đổi.
bài 4(3 điểm)
bài 5(3 điểm)
cho các số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện:$ x+y+1=3xy$
tìm Max:$M=\dfrac{{3x}}{{y\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{{3y}}{{x\left( {y + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{{y^2}}}$

[quanganhct]

Bài 1 :
Đặt k=5x-6
pt trở thành :
đk:x>1,k>1
$k^2-\dfrac{1}{\sqrt{k-1}}=x^2-\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$
$ \Leftrightarrow k^2-x^2=\dfrac{1}{\sqrt{k-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$
Tới đây , giả sử k>x suy ra VT>0, VP<0. Tương tự cho k<x
Vậy k=x vậy x= 3/2

[quanganhct]

Bài 1.2 :
đk: x 1
bất pt đã cho trở thành :
$(x^3+3x^2-1)(\sqrt{x} + \sqrt{x-1})^3 \leq m $
VT là hàm tăng khi x 1
Vậy VT 3, đẳng thức xảy ra khi x=1
Vậy m 3 thì bpt có nghiệm

[dark templar]

Chém bài 5 :
Từ gt $x+y+1=3xy \Rightarrow 3xy-1=x+y \geq 2\sqrt{xy}$(BĐT AM-GM)
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{xy} \geq 1 \\4xy=xy+x+y+1=(x+1)(y+1)\end{array}\right. $
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}xy \geq 1\\4xy=(x+1)(y+1)\end{array}\right. $
Ta có $M=[\dfrac{3x}{y(x+1)}-\dfrac{1}{y^2}]+[\dfrac{3y}{x.(y+1)}-\dfrac{1}{x^2}]$
$=\dfrac{3xy-(x+1)}{y^2(x+1)}+\dfrac{3xy-(y+1)}{x^2(y+1)}=\dfrac{y}{y^2(x+1)}+\dfrac{x}{x^2(y+1)}$
$=\dfrac{1}{x.(y+1)}+\dfrac{1}{y(x+1)}=\dfrac{2xy+x+y}{xy(x+1)(y+1)}=\dfrac{5xy-1}{4x^2y^2}$
$=\dfrac{5}{4xy}-\dfrac{1}{4x^2y^2}$
Đặt $t=\dfrac{1}{xy} \Rightarrow 0<t \leq 1$
Vậy $M=\dfrac{5t-t^2}{4}=\dfrac{t(5-t)}{4} $
Ta sẽ cm $\dfrac{5t-t^2}{4} \leq 1 \Leftrightarrow t^2-5t+4 \geq 0 \Leftrightarrow (t-1)(t-4) \geq 0$
(đúng $ \forall t \in (0;1]$)
vậy $M \leq 1$
$M_{max}=1 \Leftrightarrow t=1 \Leftrightarrow xy=1 \Leftrightarrow x=y=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 26-10-2010 - 19:04

[h.vuong_pdl]

bài 5(3 điểm)
cho các số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện:$x+y+1=3xy$
tìm Max:M=$ \dfrac{3x}{y(x+1)} + \dfrac{3y}{x.(y+1)} -\dfrac{1}{x^{2}} -\dfrac{1}{y^{2}}$

thử giải bài này xem:
ta có: $gt \Leftrightarrow (x+1)(y+1) = 2xy \to (1+ \dfrac{1}{x})(1+ \dfrac{1}{y}) = 2$
đặt $a = 1+ \dfrac{1}{x}, b = 1 + \dfrac{1}{y}$ thì có: $ab = 2$
và $M = \dfrac{3}{y}.\dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}} + \dfrac{3}{x}.\dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{y}} - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{y^2} \\ = \dfrac{3(b-1)}{a} + \dfrac{3(a-1)}{b} - (a-1)^2 - (b-1)^2$
chú ý $ab = 2$ nên ta rút gọn M như sau:
$2M = 3a(b-1) + 3b(a-1) -2(a^2+b^2-2a-2b+2) = a^2+b^2 + a+b -4 \ge 2ab + 2\sqrt{ab} -4 = 2\sqrt{2}$
$\to dcpt$

[dark templar]

thử giải bài này xem:
ta có: $gt \Leftrightarrow (x+1)(y+1) = 2xy \to (1+ \dfrac{1}{x})(1+ \dfrac{1}{y}) = 2$
đặt $a = 1+ \dfrac{1}{x}, b = 1 + \dfrac{1}{y}$ thì có: $ab = 2$
và $M = \dfrac{3}{y}.\dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}} + \dfrac{3}{x}.\dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{y}} - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{y^2} \\ = \dfrac{3(b-1)}{a} + \dfrac{3(a-1)}{b} - (a-1)^2 - (b-1)^2$
chú ý $ab = 2$ nên ta rút gọn M như sau:
$2M = 3a(b-1) + 3b(a-1) -2(a^2+b^2-2a-2b+2) = a^2+b^2 + a+b -4 \ge 2ab + 2\sqrt{ab} -4 = 2\sqrt{2}$
$\to dcpt$

Bạn h.vuong_pdl:
1/Người ta bảo tìm Max chứ ko phải là Min
2/chỗ $gt \Leftrightarrow (x+1)(y+1) = 2xy \to (1+ \dfrac{1}{x})(1+ \dfrac{1}{y}) = 2$ cậu làm sai rồi !
Phải là $(x+1)(y+1)=4xy$ chứ ko phải là $2xy$!

[novae]

bài 2(3 điểm)
giả sử M là một điểm trong tam giác ABC sao cho$\widehat{MAB} =\widehat{MBC}=\widehat{MCA} = \alpha $
CMR:$\cot\alpha=\cot A+\cot B+\cot C$

Một kết quả quen thuộc về điểm Brocard.
Đặt $MA=x, MB=y, MC=z$, ta có:
$\cot \alpha =\dfrac{x^2+c^2-y^2}{4S_{MAB}}+\dfrac{y^2+a^2-z^2}{4S_{MBC}}+ \dfrac{z^2+b^2-a^2}{4S_{MCA}}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S_{ABC}} \quad (1)$
$\cot A+\cot B+\cot C = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S_{ABC}}+\dfrac{c^2+a^2-b^2}{4S_{ABC}}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S_{ABC}} $$ = \dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S_{ABC}} \quad (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi novae: 26-10-2010 - 19:49