Chủ đề này có 6 trả lời

[mr.salomon]

 De_III_Bai_2.doc   17.5K   80 Số lần tải
Xin lỗi không biết dùng MathType trên web nên phải làm thế này. Mong các bạn thông cảm và giúp đỡ.

[dark templar]

Đề :
Cho $a,b,c>0$.CMR:$(a^2+b^2+ab)(b^2+c^2+bc)(c^2+a^2+ca) \geq (ab+bc+ca)^3$
CM:
Sử dụng đánh giá $a^2+b^2 \geq \dfrac{3}{4}.(a+b)^2$(cái này thì khai triển để cm)
Ta có $VT \geq \dfrac{27}{64}.[(a+b)(b+c)(c+a)]^2$
Lại có $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc $
$\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}$
$=\dfrac{8}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ca)$
(do áp dụng BĐT AM-GM $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc},ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 9abc$)
Nên $VT \geq \dfrac{27}{64}.\dfrac{64}{81}.(a+b+c)^2.(ab+bc+ca)^2 $
$\geq \dfrac{1}{3}.3(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)^2=(ab+bc+ca)^3=VP(dpcm)$
(1 BĐT quen thuộc $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 06-11-2010 - 10:26

[NightBaron]

Đề :
Cho $a,b,c>0$.CMR:$(a^2+b^2+ab)(b^2+c^2+bc)(c^2+a^2+ca) \geq (ab+bc+ca)^3$

Nếu dùng Holder thì sẽ đỡ tốn giấy hơn...

[khanh3570883]

a^2 + b^2 >= 3/4(a+b)^2 khai trien ra thanh a^2 + b^2 >= 6ab

[NightBaron]

a^2 + b^2 >= 3/4(a+b)^2 khai trien ra thanh a^2 + b^2 >= 6ab

Lỗi đánh mày thui, là $a^2+ab+b^2\ge \dfrac{3}{4}(a+b)^2$.

[mileycyrus]

post thì mọi ng nhìn rõ hơn thui mà ^^

[mr.salomon]

Thanks mọi người nhiều nha. Nhưng đừng có vào topic nay dể câu bài đó!