Đến nội dung

Hình ảnh

Đường tròn


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
windkiss

windkiss

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, AG cắt đường tròn tăm O tại điểm thứ hai là M.
CMR GM :equiv $ \dfrac{BC}{ sqrt{3} } $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi windkiss: 07-11-2010 - 12:15

Cuoc song la` vo ti`nh
Hình đã gửi

#2
khanh toan

khanh toan

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
điều cần c.m <=> GM^2 :neq a^2 /3
<=> GM^{2} . GA^2 :vdots x(2y + 2z - x) /27 với x=a^2 , y=b^2 , z=c^2
<=> (OG^2 - R^2)^2 :vdots x(2y + 2z - x) /27
<=> (x+y+z)^2 / 3 :in x(2y+2z - x) ( công thức Lebniz)
<=> (2x - y -z)^2 :vdots 0 ( hiển nhiên đúng ) => đpcm

Dấu bằng <=> 2 a^2 = b^2 + c^2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanh toan: 08-11-2010 - 19:50


#3
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
có cách nào khác không, vì việc sử dụng công thức Lebniz là phải chứng minh lại.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#4
windkiss

windkiss

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết

điều cần c.m <=> GM^2 :leq a^2 /3
<=> GM^{2} . GA^2 :) x(2y + 2z - x) /27 với x=a^2 , y=b^2 , z=c^2
<=> (OG^2 - R^2)^2 :D x(2y + 2z - x) /27
<=> (x+y+z)^2 / 3 :leq x(2y+2z - x) ( công thức Lebniz)
<=> (2x - y -z)^2 :leq 0 ( hiển nhiên đúng ) => đpcm

Dấu bằng <=> 2 a^2 = b^2 + c^2


Hic ban dùng latex được không chứ thế này mình chẳng hiểu j cả :leq
Cuoc song la` vo ti`nh
Hình đã gửi

#5
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

điều cần c.m $ \Leftrightarrow GM^2 \geq \dfrac{a^2}{3}$
$ \Leftrightarrow GM^2.GA^2 \geq \dfrac{x.(2y + 2z - x)}{27}$ với $x=a^2 , y=b^2 , z=c^2$
$ \Leftrightarrow (OG^2 - R^2)^2 \geq \dfrac{x.(2y + 2z - x)}{27}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{(x+y+z)^2}{3} \geq x.(2y+2z - x)$ ( công thức Lebniz)
$ \Leftrightarrow (2x - y -z)^2 \geq 0 $( hiển nhiên đúng ) => đpcm

Dấu bằng $ \Leftrightarrow 2 a^2 = b^2 + c^2$


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#6
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Bài này có thể dùng phương tích +Véc-tơ để giải!
Giải như sau:
$GM.GA = - P_{G/\left( O \right)} = R^2 - OG^2 $
$3\overrightarrow {OG} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \Leftrightarrow 9OG^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2 + 2\left( {\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA} } \right) $
$= 3R^2 + \left[ {OA^2 + OB^2 - \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right)^2 + OB^2 + OC^2 - \left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} } \right)^2 + OC^2 + OA^2 - \left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right)^2 } \right] $
$= 3R^2 + 6R^2 - \overrightarrow {BA} ^2 - \overrightarrow {CB} ^2 - \overrightarrow {AC} ^2 = 9R^2 - \left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) $
$\Rightarrow OG^2 = R^2 - \dfrac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{9} $
$\Rightarrow GM.GA = \dfrac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{9} \Rightarrow GM = \dfrac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{{6m_a }} $
$= \dfrac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{{3\sqrt {2\left( {b^2 + c^2 } \right) - a^2 } }} \ge \dfrac{a}{{\sqrt 3 }} $
$\Leftrightarrow \left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 \ge 3a^2 \left[ {2\left( {b^2 + c^2 } \right) - a^2 } \right] $
$\Leftrightarrow 4a^4 + b^4 + c^4 + 2b^2 c^2 - 4a^2 b^2 - 4a^2 c^2 \ge 0 $
$\Leftrightarrow \left( {2a^2 - b^2 - c^2 } \right) \ge 0\left( {true - dpcm} \right) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 12-11-2010 - 13:06

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh