Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Giang1994

Giang1994

    C'est la vie

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Màu đen huyền bí

Đã gửi 12-11-2010 - 17:02

cháo các bạn! ai giỏi toán giúp mình bài này vs! cảm ơn các bạn rất nhiều.
cho a,b,c dương. CMR
$ \dfrac{b+c}{2 a^{2} +bc}+ \dfrac{c+a}{2 b^{2}+ca }+ \dfrac{a+b}{2 c^{2}+ab } \geq \dfrac{6}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Giang1994: 27-04-2011 - 14:02

Don't let people know what you think


#2 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 12-11-2010 - 18:20

cháo các bạn! ai giỏi toán giúp mình bài này vs! cảm ơn các bạn rất nhiều.
cho a,b,c dương. CMR
$\dfrac{b+c}{2 a^{2} +bc}+ \dfrac{c+a}{2 b^{2}+ca }+ \dfrac{a+b}{2 c^{2}+ab } \geq \dfrac{6}{a+b+c}$

Bài này thật ra mình cũng ko nghĩ ra ,đây là cách trong cuốn sách của mình :
BĐT tương đương
$\sum {\dfrac{{4\left( {b + c} \right)\left( {a + b + c} \right)}}{{2a^2 + bc}}} \ge 24 \Leftrightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} - \sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 24 $ $\sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} = \dfrac{3}{2} - \sum {\dfrac{{bc}}{{2\left( {2a^2 + bc} \right)}}} \le \dfrac{3}{2} - \dfrac{{\left( {\sum {bc} } \right)^2 }}{{2\sum {bc\left( {2a^2 + bc} \right)} }} = 1 $
Ta sẽ cm $\sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25$
ko mất tính tổng quát giả sử $c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}$
Đặt $t=\dfrac{a+b}{2} \Rightarrow tc \leq ab \leq t^2$
Ta sẽ cm
$\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
$\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{\left[ {b\left( {a + 2b + 2c} \right) + a\left( {b + 2c + 2a} \right)} \right]^2 }}{{b^2 \left( {2a^2 + bc} \right) + a^2 \left( {2b^2 + ca} \right)}} = \dfrac{{2\left( {4t^2 - ab + 2tc} \right)^2 }}{{2a^2 b^2 - 3abtc + 4t^3 c}} $
$tc \le ab \le t^2 \Rightarrow 2a^2 b^2 - 3abtc - \left( {2t^4 - 3t^3 c} \right) $
$= - \left( {t^2 - ab} \right)\left( {2t^2 + 2ab - 3tc} \right) \le 0 $
$\Rightarrow \dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{2\left( {4t^2 - ab + 2tc} \right)^2 }}{{2a^2 b^2 - 3abtc + 4t^3 c}}$
$\ge \dfrac{{2\left( {3t^2 + 2tc} \right)^2 }}{{2t^4 - 3t^3 c + 4t^3 c}} = \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}}$
$\dfrac{{\left( {c + 2a + 2b} \right)^2 }}{{2c^2 + ab}} \ge \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} \Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}} + \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} $
Ta sẽ cm
$\dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}} + \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} \ge 25 \Leftrightarrow \dfrac{{c\left( {31t + 16c} \right)\left( {t - c} \right)^2 }}{{t\left( {2t + c} \right)\left( {t^2 + 2c^2 } \right)}} \ge 0\left( {true} \right)$
$\Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25,\sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \le 1 $
$\Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} - \sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25 - 1 = 24\left( {dpcm} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 12-11-2010 - 19:19

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3 Giang1994

Giang1994

    C'est la vie

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Màu đen huyền bí

Đã gửi 12-11-2010 - 19:48

Bài này thật ra mình cũng ko nghĩ ra ,đây là cách trong cuốn sách của mình :
BĐT tương đương
$\sum {\dfrac{{4\left( {b + c} \right)\left( {a + b + c} \right)}}{{2a^2 + bc}}} \ge 24 \Leftrightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} - \sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 24 $ $\sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} = \dfrac{3}{2} - \sum {\dfrac{{bc}}{{2\left( {2a^2 + bc} \right)}}} \le \dfrac{3}{2} - \dfrac{{\left( {\sum {bc} } \right)^2 }}{{2\sum {bc\left( {2a^2 + bc} \right)} }} = 1 $
Ta sẽ cm $\sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25$
ko mất tính tổng quát giả sử $c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}$
Đặt $t=\dfrac{a+b}{2} \Rightarrow tc \leq ab \leq t^2$
Ta sẽ cm
$\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
$\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{\left[ {b\left( {a + 2b + 2c} \right) + a\left( {b + 2c + 2a} \right)} \right]^2 }}{{b^2 \left( {2a^2 + bc} \right) + a^2 \left( {2b^2 + ca} \right)}} = \dfrac{{2\left( {4t^2 - ab + 2tc} \right)^2 }}{{2a^2 b^2 - 3abtc + 4t^3 c}} $
$tc \le ab \le t^2 \Rightarrow 2a^2 b^2 - 3abtc - \left( {2t^4 - 3t^3 c} \right) $
$= - \left( {t^2 - ab} \right)\left( {2t^2 + 2ab - 3tc} \right) \le 0 $
$\Rightarrow \dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{2\left( {4t^2 - ab + 2tc} \right)^2 }}{{2a^2 b^2 - 3abtc + 4t^3 c}}$
$\ge \dfrac{{2\left( {3t^2 + 2tc} \right)^2 }}{{2t^4 - 3t^3 c + 4t^3 c}} = \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}}$
$\dfrac{{\left( {c + 2a + 2b} \right)^2 }}{{2c^2 + ab}} \ge \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} \Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}} + \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} $
Ta sẽ cm
$\dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}} + \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} \ge 25 \Leftrightarrow \dfrac{{c\left( {31t + 16c} \right)\left( {t - c} \right)^2 }}{{t\left( {2t + c} \right)\left( {t^2 + 2c^2 } \right)}} \ge 0\left( {true} \right)$
$\Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25,\sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \le 1 $
$\Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} - \sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25 - 1 = 24\left( {dpcm} \right)$

thanks dark templar, thế theo các bạn bài này có thể giải bằng chuẩn hóa được không? mình chuẩn hóa a+b+c=1 rồi dẫn đến ab+bc+ca-3abc <=2/9.tiếp thì chẳng biết làm thế nào, mà bdt này cũng đúng. các bạn giúp mình giải quyết tiếp nhớ!

Don't let people know what you think


#4 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 13-11-2010 - 15:01

thanks dark templar, thế theo các bạn bài này có thể giải bằng chuẩn hóa được không? mình chuẩn hóa $a+b+c=1$ rồi dẫn đến $ab+bc+ca-3abc \le \dfrac{2}{9}$.tiếp thì chẳng biết làm thế nào, mà bdt này cũng đúng. các bạn giúp mình giải quyết tiếp nhớ!


ta sẽ CM: $9(a+b+c)(ab+bc+ca) \le 27abc + 2(a+b+c)^3$
$\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3) + 12abc \ge 3ab(a+b) + 3bc(b+c) + 3ca(c+a)$
$\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3-3abc) \ge 3\sum{a(b^2+c^2)} - 18abc$
$\Leftrightarrow (a+b+c).\sum{(b-c)^2} \ge 3\sum{a(b-c)^2}$
$S_a = b+c-2a, S_b = c+a- 2b, S_c = a+b-2c$

p/s: bạn nhầm đâu đó rồi, hoặc là đã đánh giá hơi mạnh ở đâu đó!
vì khi thay $a = 0,1, b=0,45, c = 0,45$ thì BDT đổi chiều rồi ?!?

rongden_167





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh