Chủ đề này có 5 trả lời

[theblue]

Tìm Hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, thỏa mãn

$3f(\dfrac{x-1}{3x+2})-5f(\dfrac{1-x}{x-2})=\dfrac{8}{x-1}$
với mọi x khác$ \dfrac{-2}{3}, 0,1,2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi theblue: 12-11-2010 - 17:58

[NightBaron]

Tìm Hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, thỏa mãn

$3f(\dfrac{x-1}{3x+2})-5f(\dfrac{1-x}{x-2})=\dfrac{8}{x-1}$
với mọi x khác$ \dfrac{-2}{3}, 0,1,2$

$f(x)=\dfrac{28x+4}{5x}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 14-11-2010 - 14:54

[theblue]

$f(x)=\dfrac{28x+4}{5x}$.

Bạn giải chi tiết giúp mình được không. thanks

[NightBaron]

$3f(\dfrac{x-1}{3x+2})-5f(\dfrac{1-x}{x-2})=\dfrac{8}{x-1} (1)$

$\forall x\neq (0,1,\dfrac{-2}{3},2), x\in R$

Giả sử tìm được $f$ thỏa mãn:

Để đơn giản, đăt:

$y=\dfrac{1-x}{x-2}\Rightarrow x=\dfrac{2y+1}{y+1}; y\notin\{-2,0,-\dfrac 58\}$ (vì $x=0,1,-\dfrac 23$)

Khi đó $(1)$ có dạng:

$3f(\dfrac y{8y+5})-5f(y)=8(1+\dfrac 1y), \forall y\notin\{-2,0,-\dfrac 58\}$

Đặt: $g(x)=f(\dfrac 1x) , \forall x\ne 0$. Thì:

$3g(8+\dfrac 5y)-5g(\dfrac 1y)=8(1+\dfrac 1y), \forall y\notin\{-2,0,-\dfrac 58\}$

$\iff$ $3g(5x+8)-5g(x)=8(x+1), \forall x\notin\{-\dfrac 12,0,-\dfrac 85\}$

$\Leftrightarrow 3g(5(x+2)-2)-5g((x+2)-2)=8(x+1), \forall x\notin\{-\dfrac 12,0,-\dfrac 85\}$

Tiếp tục đặt: $g(x-2)=h(x)$, ta có:

$3h(5(x+2))-5h(x+2)=8(x+1), \forall x\notin\{-\dfrac 12,0,-\dfrac 85\}$

$\Rightarrow 3h(5x)-5h(x)=8(x-1), \forall x\notin\{\dfrac 32,2,\dfrac 25\}$

Tới đây ta dự đoán $f$ dạng $ax+b$ và tìm được 1 hàm là $\dfrac{4x}{5}+4$

Vậy $h(x)=\dfrac{4x}{5}+4+k(x)$, suy ra:

$3k(5x)=5k(x), \forall x\notin\{\dfrac 32,2,\dfrac 25\}$

Và bây giờ:

$f(x)=4\dfrac{7x+1}{5x}+k(\dfrac{2x+1}x)$ với $k(x)$ là hàm số thỏa mãn $k(5x)=\dfrac 53k(x)$ $\forall x\notin\{\dfrac 32,2,\dfrac 25\}$

Ta tìm được $k(x)=0$.

$\Rightarrow f(x)=\dfrac{28x+4}{5}$

[tuan101293]

$k(5x)=\dfrac{5}{3}k(x)$ làm sao mà ra được k(x)=0????

[NightBaron]

$k(5x)=\dfrac{5}{3}k(x)$ làm sao mà ra được k(x)=0????

Thay vào pt ban đầu xem có ra ko? Bài này e pit trước đáp số nên đến đấy ko làm nữa... Anh thử xem có được ko?