1 reply to this topic

[supermember]

Bài Toán :

Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện :

$ 1)f(y+\dfrac{x+f(x)}{2}+f(2z))=2x-f(x)+f(f(f(y)))+2f(f(z)) \forall x;y;z\in \mathbb{R}$

$ 2) f(f(0)) = f(0)$

Nguyễn Kim Anh

Edited by supermember, 20-11-2010 - 18:10.

[tuan101293]

Bài Toán :

Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện :

$ 1)f(y+\dfrac{x+f(x)}{2}+f(2z))=2x-f(x)+f(f(f(y)))+2f(f(z)) \forall x;y;z\in \mathbb{R}$

$ 2) f(f(0)) = f(0)$

Nguyễn Kim Anh

Đặt f(0)=a,ta có f(a)=a
Thay (x,y,z) bởi các bộ $(a,0,\dfrac{a}{2});(a,0,0);(0,\dfrac{a}{2},0)$ ta thu được 3 pt
giải ra có f(0)=0
Thay 2 trong 3 giá trị x,y,z bằng 0 ta thu được
$f_2(2z)=2f_2(z)$ và $f_3(y)=f(y)$
Thay tiếp z=0,x=y ta thu được $f_2(x)=x$
Cuối cùng thay
$z=y=0$ ta được $f(\dfrac{x+f(x)}{2})=2x-f(x)$
Thay tiếp x=f(x) thu được $f(\dfrac{f(x)+x}{2})=2f(x)-x$ (chú ý $f_2(x)=x$)
suy ra f(x)=x

Edited by tuan101293, 21-11-2010 - 15:21.