Chủ đề này có 6 trả lời

[windkiss]

Cho 2 số thực x,y thỏa mãn $ x^{2} +y^{2}+ xy=1$
Tìm min và max của B=$ x^{2}-xy+2y^{2} $

[perfectstrong]

Mình giải thế này được không:
$B = x^2 - xy + 2y^2 (1)$: phương trình bậc 2 ẩn x, tham số y.
Xét: $\vartriangle = y^2 - 8y^2 = - 7y^2 \leqslant 0$
Mà phương trình (1) có nghiệm nên $\vartriangle \geqslant 0$. Suy ra, $\vartriangle = 0 \Rightarrow y = 0 $
Suy ra, B=1.

[hxthanh]

Bài này dùng kiến thức THCS hơi khó

Xét pt ẩn x
$x^2+yx+y^2-1=0$
$ \Delta = 4-3y^2 \geq 0 \Leftrightarrow y^2 \leq \dfrac{3}{4} $
Với điều kiện đó thì ta có:
$x_{1,2}=\dfrac{-y\pm\sqrt{4-3y^2}}{2}$

$2x_{1,2}^2=2-y^2\pm\sqrt{y^2(4-3y^2)}$
Do đó ta có:
$2-y^2-\sqrt{y^2(4-3y^2)} \leq 2x^2 \leq 2-y^2+\sqrt{y^2(4-3y^2)}$
$B=x^2+2y^2-xy=2x^2+3y^2-1$ (theo giả thiết)
Suy ra
$1+2y^2-\sqrt{y^2(4-3y^2)} \leq B \leq 1+2y^2+\sqrt{y^2(4-3y^2)}$
Đến đây...
Dùng cân bằng hệ số Cauchy
Tìm Max trước:
$\sqrt{y^2(4-3y^2)}=\dfrac{1}{\sqrt{7}-2}\sqrt{(11-4\sqrt{7})y^2(4-3y^2)} \leq \\ \leq \dfrac{(11-4\sqrt{7})y^2+4-3y^2}{2(\sqrt{7}-2)}=-2y^2+\dfrac{2}{\sqrt{7}-2}$ (AM_GM)
Vậy $Max(B)=1+\dfrac{2}{\sqrt{7}-2}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2}$
Đạt được khi $(11-4\sqrt{7})y^2=4-3y^2 \Rightarrow y^2=\dfrac{2}{7-2\sqrt{7}}$ và x tương ứng
Tương tự tìm Min
$\sqrt{y^2(4-3y^2)}=\dfrac{1}{\sqrt{7}+2}\sqrt{(11+4\sqrt{7})y^2(4-3y^2)} \leq \\ \leq \dfrac{(11+4\sqrt{7})y^2+4-3y^2}{2(\sqrt{7}+2)}=2y^2+\dfrac{2}{\sqrt{7}+2}$ (AM_GM)
Do đó $Min(B)=1-\dfrac{2}{\sqrt{7}+2}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+2}$
Đạt được khi $(11+4\sqrt{7})y^2=4-3y^2 \Rightarrow y^2=\dfrac{2}{7+2\sqrt{7}}$ và x tương ứng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 15-12-2010 - 00:05

[dark templar]

Cũng có thể cách ngắn gọn hơn sau đây:(hoàn toàn sử dụng kiến thức THCS)
Viết lại biểu thức B dưới dạng sau:
$B = \dfrac{{x^2 - xy + 2y^2 }}{{x^2 + xy + y^2 }}\left( {x^2 + y^2 + xy = 1} \right) = \dfrac{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2 - \dfrac{x}{y} + 2}}{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2 + \dfrac{x}{y} + 1}} $
$t = \dfrac{x}{y} \Rightarrow B = \dfrac{{t^2 - t + 2}}{{t^2 + t + 1}} \Leftrightarrow \left( {B - 1} \right)t^2 + \left( {B + 1} \right)t + B - 2 = 0 $
$\Delta = \left( {B + 1} \right)^2 - 4\left( {B - 1} \right)\left( {B - 2} \right) = - 3B^2 + 14B - 7 \ge 0 $
$\Leftrightarrow 3B^2 - 14B + 7 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{7 - 2\sqrt 7 }}{3} \le B \le \dfrac{{7 + 2\sqrt 7 }}{3} \Rightarrow \min ,\max $
P/s:Anh hxthanh ,giải như vậy ngắn gọn hơn rất nhiều ,phải ko ạh?????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-12-2010 - 21:37

[hxthanh]

Cũng có thể cách ngắn gọn hơn sau đây:(hoàn toàn sử dụng kiến thức THCS)
Viết lại biểu thức B dưới dạng sau:
$B = \dfrac{{x^2 - xy + 2y^2 }}{{x^2 + xy + y^2 }}\left( {x^2 + y^2 + xy = 1} \right) = \dfrac{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2 - \dfrac{x}{y} + 2}}{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2 + \dfrac{x}{y} + 1}} $
$t = \dfrac{x}{y} \Rightarrow B = \dfrac{{t^2 - t + 2}}{{t^2 + t + 1}} \Leftrightarrow \left( {B - 1} \right)t^2 + \left( {B + 1} \right)t + B - 2 = 0 $
$\Delta = \left( {B + 1} \right)^2 - 4\left( {B - 1} \right)\left( {B - 2} \right) = - 3B^2 + 14B - 7 \ge 0 $
$\Leftrightarrow 3B^2 - 14B + 7 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{7 - 2\sqrt 7 }}{3} \le B \le \dfrac{{7 + 2\sqrt 7 }}{3} \Rightarrow \min ,\max $
P/s:Anh hxthanh ,giải như vậy ngắn gọn hơn rất nhiều ,phải ko ạh?????

Thoạt đầu anh tưởng kết quả của em và anh khác nhau nhưng khi so sánh lại thì thấy đúng!

[windkiss]

Mình giải thế này được không:
$B = x^2 - xy + 2y^2 (1)$: phương trình bậc 2 ẩn x, tham số y.
Xét: $\vartriangle = y^2 - 8y^2 = - 7y^2 \leqslant 0$
Mà phương trình (1) có nghiệm nên $\vartriangle \geqslant 0$. Suy ra, $\vartriangle = 0 \Rightarrow y = 0 $
Suy ra, B=1.

ơ, lúc đầu tưởng cách perfectstrong đúng , nhưng so vs các cách dưới, hoá ra ko phải ak?

e vẫn ko hiểu perfectstrong sai chỗ nào?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi windkiss: 02-02-2011 - 16:17

[Phạm Hữu Bảo Chung]

ơ, lúc đầu tưởng cách perfectstrong đúng , nhưng so vs các cách dưới, hoá ra ko phải ak?

e vẫn ko hiểu perfectstrong sai chỗ nào?

Mình nghĩ là thế này ( lúc đầu cũng thoạt nhầm mà ) :
Phương trình : $ x^2 - xy + 2y^2 = 0 $ thì mới có điều đó xảy ra ( nghĩa là mới có $ \Delta = - 7y^2 \geq 0 $ - chỉ xét trong khi $ B = 0 $ ), ta không thể xét trường hợp với một số B cụ thể ( = 0) trước trong khi đang cần tìm min , max của nó !
Nếu cần xét thì phải xét biểu thức :
$ \Delta = ( y^2) - 4.( 2y^2 - B ) \geq 0 $
Không biết đúng không nữa !!!