Đến nội dung

Hình ảnh

$\dfrac{AG}{GD}+\dfrac{BG}{GE}+\dfrac{CG}{GF}=3$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết

Cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Các đường thẳng $AG,BG,CG$ gặp lại đường tròn tại $D,E,F$ tương ứng.
Chứng minh rằng $\dfrac{AG}{GD}+\dfrac{BG}{GE}+\dfrac{CG}{GF}=3$.


1728

#2
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Các đường thẳng $AG,BG,CG$ gặp lại đường tròn tại $D,E,F$ tương ứng.
Chứng minh rằng $\dfrac{AG}{GD}+\dfrac{BG}{GE}+\dfrac{CG}{GF}=3$.

Đặt $AD$ cắt $BC$ tại $M$

$AG=\frac{2}{3}m_a$

$GD=GM+MD=\frac{1}{3}m_a+\frac{MB.MC}{MA}=\frac{1}{3}m_a+\frac{a^2}{4m_a}$

$\frac{AG}{GD}=\frac{2m_a^2}{m_a^2+\frac{3a^2}{4}}=\frac{b^2+c^2-\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{a^2+b^2+c^2}$

$\sum \frac{AG}{GD}=\sum \frac{2m_a^2}{m_a^2+\frac{3a^2}{4}}=\sum \frac{b^2+c^2-\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}=\sum \frac{2b^2+2c^2-a^2}{a^2+b^2+c^2}=3$ (đpcm)






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh