Cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Các đường thẳng $AG,BG,CG$ gặp lại đường tròn tại $D,E,F$ tương ứng.
Chứng minh rằng $\dfrac{AG}{GD}+\dfrac{BG}{GE}+\dfrac{CG}{GF}=3$.
$\dfrac{AG}{GD}+\dfrac{BG}{GE}+\dfrac{CG}{GF}=3$.
Bắt đầu bởi QUANVU, 25-07-2005 - 14:20
#1
Đã gửi 25-07-2005 - 14:20
- barcavodich và LNH thích
1728
#2
Đã gửi 03-10-2013 - 21:49
Cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Các đường thẳng $AG,BG,CG$ gặp lại đường tròn tại $D,E,F$ tương ứng.
Chứng minh rằng $\dfrac{AG}{GD}+\dfrac{BG}{GE}+\dfrac{CG}{GF}=3$.
Đặt $AD$ cắt $BC$ tại $M$
$AG=\frac{2}{3}m_a$
$GD=GM+MD=\frac{1}{3}m_a+\frac{MB.MC}{MA}=\frac{1}{3}m_a+\frac{a^2}{4m_a}$
$\frac{AG}{GD}=\frac{2m_a^2}{m_a^2+\frac{3a^2}{4}}=\frac{b^2+c^2-\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{a^2+b^2+c^2}$
$\sum \frac{AG}{GD}=\sum \frac{2m_a^2}{m_a^2+\frac{3a^2}{4}}=\sum \frac{b^2+c^2-\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}=\sum \frac{2b^2+2c^2-a^2}{a^2+b^2+c^2}=3$ (đpcm)
- perfectstrong, nhatquangsin, bangbang1412 và 5 người khác yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh