Chủ đề này có 4 trả lời

[Duy1995]

Cho tg ABC thỏa: $3(cosB+2sinC) +4(sinB+2cosC)=15$
c/m: tam giác ABC vuông.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy1995: 14-12-2010 - 08:41

[dark templar]

Cho tg ABC thỏa: $3(cosB+2sinC) +4(sinB+2cosC)=15$
c/m: tam giác ABC vuông.

Mọi người hãy chuyển qua xài tex đi 1 thời gian đi nhé!
$3\left( {\cos B + 2\sin C} \right) + 4\left( {\sin B + 2\cos C} \right) = 15 $
$\Leftrightarrow \left( {3\cos B + 4\sin B} \right) + 2\left( {3\sin C + 4\cos C} \right) = 15$
$\Leftrightarrow 5\sin \left( {B + \alpha } \right) + 10\cos \left( {C - \alpha } \right) = 15\left( {\alpha = \arcsin \dfrac{3}{5}} \right) $
$\Leftrightarrow \sin \left( {B + \alpha } \right) + 2\cos \left( {C - \alpha } \right) = 3 $
$\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {B + \alpha } \right) \le 1 \\ 2\cos \left( {C - \alpha } \right) \le 2 \\ \end{array} \right.,\forall B,C,\alpha \Rightarrow \sin \left( {B + \alpha } \right) + 2\cos \left( {C - \alpha } \right) \le 3 $
$\sin \left( {B + \alpha } \right) + 2\cos \left( {C - \alpha } \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {B + \alpha } \right) = 1 \\ \cos \left( {C - \alpha } \right) = 1 \\ \end{array} \right. $
$\Rightarrow \sin \left( {B + \alpha } \right) = \cos \left( {C - \alpha } \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + \alpha - C} \right) $
$\Leftrightarrow B + C = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow dpcm $

[Duy1995]

Mọi người hãy chuyển qua xài tex đi 1 thời gian đi nhé!
$3\left( {\cos B + 2\sin C} \right) + 4\left( {\sin B + 2\cos C} \right) = 15 $
$\Leftrightarrow \left( {3\cos B + 4\sin B} \right) + 2\left( {3\sin C + 4\cos C} \right) = 15$
$\Leftrightarrow 5\sin \left( {B + \alpha } \right) + 10\cos \left( {C - \alpha } \right) = 15\left( {\alpha = \arcsin \dfrac{3}{5}} \right) $
$\Leftrightarrow \sin \left( {B + \alpha } \right) + 2\cos \left( {C - \alpha } \right) = 3 $
$\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {B + \alpha } \right) \le 1 \\ 2\cos \left( {C - \alpha } \right) \le 2 \\ \end{array} \right.,\forall B,C,\alpha \Rightarrow \sin \left( {B + \alpha } \right) + 2\cos \left( {C - \alpha } \right) \le 3 $
$\sin \left( {B + \alpha } \right) + 2\cos \left( {C - \alpha } \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {B + \alpha } \right) = 1 \\ \cos \left( {C - \alpha } \right) = 1 \\ \end{array} \right. $
$\Rightarrow \sin \left( {B + \alpha } \right) = \cos \left( {C - \alpha } \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + \alpha - C} \right) $
$\Leftrightarrow B + C = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow dpcm $

Cảm ơn anh nhưng anh có thể sử dụng kiến thức hk1 của lớp 10 không ạ?Có mấy cái em chẳng hiểu gì cả.
Bài này là 1 bài trong đề thi hk1 lớp 10 trường em năm ngoái

[Ho pham thieu]

Kiểu này đơn giản hơn
$3\left( {\cos B + 2\sin C} \right) + 4\left( {\sin B + 2\cos C} \right) = 15 $
$\Leftrightarrow \left( {3\cos B + 4\sin B} \right) + 2\left( {3\sin C + 4\cos C} \right) = 15$

A/d bdt Bunyakovski $3\cos B + 4\sin B \leq \sqrt{(3^2+4^2)(\sin ^2B+\cos ^2B)}=5$

và $3\cos C + 4\sin C \leq \sqrt{(3^2+4^2)(\sin ^2C+\cos ^2C)}=5$

Từ đó $VT \leq 5+5.2=15$
Đẳng thức xảy ra ....

[Tran Hien]

không còn cách nào khác ngoài sử dụng bất đẳng thức sao?????????