bài 1)cho n là số tự nhiên khác 0, a=n! +1 ,b=n+1. chứng minh rằng: nếu a chia hết cho b, thì b là số nguyên tố.
bai 2)cho p là sô nguyên tố, a là số nguyên, (a,p)=1. chứng minh a^{p} + a(p -1)! 0 (mod p)
bai 3) cho a,b,m là các số tư nhiên lơn hơn 1,nghiệm đúng phương trình 2^{m} -1=ab. chưng minh rằng a+1, b-1 đều là bội lẻ của cùng một lũy thừa nào đó của 2.
Bài 1Bài này là
định lý WilsonĐịnh lý Wilson phát biểu như sau
$(p-1)! \equiv -1 (mod\; p) $
khi và chỉ khi p nguyên tốCMDễ thấy nếu p=2,p=3 thì định lý đúng
Xét p>3,
Giả sử p là hợp số nghĩa là p có ước thực sự là một trong các số 2,3,...,p-1
Trong khi đó (p-1)!=1.2....(p-1)
Nên UCLN((p-1)!,p) > 1,
Khi đó không thể có
$(p-1)! \equiv -1 (mod\; p) $
Nghĩa là nếu p là hợp số thì không có biểu thức trên
Đảo lại
Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3
Trong tích (p-1)! = 1.2.3....(p-1) với mỗi số a
{2,...,p-2} tương ứng duy nhất một số b
{2,...,p-2}, b
a sao cho
$a.b \equiv 1 (mod\; p)$
Vì 2,3,...,p-2 đều nguyên tố cùng nhau với p
Do p nguyên tố nên a=b nếu và chỉ nếu a=1 hoặc a=p-1
Do đó ta có $2.3...(p-2) \equiv 1 (mod\; p)$
Ví dụ 2.3.4.5.6.7.8.9=(2.6)(3.4)(5.9)(7.8) 1 (mod 11)Mà $p-1 \equiv -1 (mod\; p)$
Nhân vế với vế hai đồng dư thức ta có
định lý được chứng minh...
Theo đó:
n!+1
n+1
n!+1
0 (mod n+1)
n!
-1 (mod n+1)
p=n+1 nguyên tố
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 03-01-2011 - 10:45