Chủ đề này có 3 trả lời

[my_ha_123]

bài 1)cho n là số tự nhiên khác 0, a=n! +1 ,b=n+1. chứng minh rằng: nếu a chia hết cho b, thì b là số nguyên tố.
bai 2)cho p là sô nguyên tố, a là số nguyên, (a,p)=1. chứng minh a^{p} + a(p -1)! 0 (mod p)
bai 3) cho a,b,m là các số tư nhiên lơn hơn 1,nghiệm đúng phương trình 2^{m} -1=ab. chưng minh rằng a+1, b-1 đều là bội lẻ của cùng một lũy thua nào đó của 2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi my_ha_123: 18-12-2010 - 12:57

[hxthanh]

bài 1)cho n là số tự nhiên khác 0, a=n! +1 ,b=n+1. chứng minh rằng: nếu a chia hết cho b, thì b là số nguyên tố.
bai 2)cho p là sô nguyên tố, a là số nguyên, (a,p)=1. chứng minh a^{p} + a(p -1)! 0 (mod p)
bai 3) cho a,b,m là các số tư nhiên lơn hơn 1,nghiệm đúng phương trình 2^{m} -1=ab. chưng minh rằng a+1, b-1 đều là bội lẻ của cùng một lũy thừa nào đó của 2.

Bài 1
Bài này là định lý Wilson

Định lý Wilson phát biểu như sau
$(p-1)! \equiv -1 (mod\; p) $ khi và chỉ khi p nguyên tố

CM
Dễ thấy nếu p=2,p=3 thì định lý đúng
Xét p>3,
Giả sử p là hợp số nghĩa là p có ước thực sự là một trong các số 2,3,...,p-1
Trong khi đó (p-1)!=1.2....(p-1)
Nên UCLN((p-1)!,p) > 1,
Khi đó không thể có
$(p-1)! \equiv -1 (mod\; p) $
Nghĩa là nếu p là hợp số thì không có biểu thức trên
Đảo lại
Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3
Trong tích (p-1)! = 1.2.3....(p-1) với mỗi số a {2,...,p-2} tương ứng duy nhất một số b {2,...,p-2}, b a sao cho
$a.b \equiv 1 (mod\; p)$
Vì 2,3,...,p-2 đều nguyên tố cùng nhau với p
Do p nguyên tố nên a=b nếu và chỉ nếu a=1 hoặc a=p-1
Do đó ta có $2.3...(p-2) \equiv 1 (mod\; p)$
Ví dụ 2.3.4.5.6.7.8.9=(2.6)(3.4)(5.9)(7.8) 1 (mod 11)
Mà $p-1 \equiv -1 (mod\; p)$
Nhân vế với vế hai đồng dư thức ta có định lý được chứng minh
...
Theo đó:
n!+1 n+1 n!+1 0 (mod n+1) n! -1 (mod n+1) p=n+1 nguyên tố

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 03-01-2011 - 10:45

[hxthanh]

bai 2)cho p là số nguyên tố, a là số nguyên, (a,p)=1. chứng minh $a^{p} + a(p -1)! \equiv 0 $ (mod p)
bai 3) cho a,b,m là các số tư nhiên lơn hơn 1,nghiệm đúng phương trình 2^{m} -1=ab. chưng minh rằng a+1, b-1 đều là bội lẻ của cùng một lũy thua nào đó của 2.

Bài 2
Theo giả thiết (a,p)=1
Theo định lý Fermat nhỏ thì $a^{p-1} \equiv 1 (mod\; p) \Leftrightarrow a^p \equiv a (mod\; p)$
Theo bài 1 thì $(p-1)! \equiv -1 (mod\; p) \Leftrightarrow a(p-1)! \equiv -a (mod\; p)$
Cộng các vế 2 đồng dư thức trên ta có ĐPCM

Bài 3
... từ từ chém sau

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 03-01-2011 - 10:42

[my_ha_123]

Bài 2
Theo giả thiết (a,p)=1
Theo định lý Fermat nhỏ thì $a^{p-1} \equiv 1 (mod p) \Leftrightarrow a^p \equiv a (mod p)$
Theo bài 1 thì $(p-1)! \equiv -1 (mod p) \Leftrightarrow a(p-1)! \equiv -a (mod p)$
Cộng các vế 2 đồng dư thức trên ta có ĐPCM

Bài 3
... từ từ chém sau

xin giup dum em nha em sap thi roi nen rat can!em cam on anh rat la nhieu