Chủ đề này có 8 trả lời

[Doraemon]

Mình đọc một số sách về đại số có gặp được hai định nghĩa về Ideal như thế này nên mới băn khoăn, mong mọi người tham gia nhé:
Cho vành http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R giao hoán:
ĐN1: Ideal là một vành con có tính hấp thụ, tức là với http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?I thỏa mãn:
(i) .
(ii) thì .
(iii) , thì .

Các bác có thể cho mình biết tại sao không ? Bởi vì như trên, nếu theo ĐN2 thì sẽ tồn tại các Ideal mà không là vành con, còn ĐN1 thì mọi Ideal đều là vành con rồi !

[mathsbeginner]

Tại sao định nghĩa 2 lại không suy ra được I là vành vậy bác?

Đa phần các sách đại số khi đề cập đến vành giao hoán (thậm chí là vành) đều ngầm ý chỉ vành có đơn vị, nếu không nói gì thêm. Vì thế mà điều kiện (iii) đảm bảo rằng thì . Còn tính đóng với phép nhân thì hiển nhiên rồi.

Khi xét về nhóm thì có khái niệm nhóm con chuẩn tắc rất hữu dụng. Mình thì hay xem ideal như một dạng "vành con chuẩn tắc" vậy.

[hahaha]

Tại sao định nghĩa 2 lại không suy ra được I là vành vậy bác?

Đa phần các sách đại số khi đề cập đến vành giao hoán (thậm chí là vành) đều ngầm ý chỉ vành có đơn vị, nếu không nói gì thêm. Vì thế mà điều kiện (iii) đảm bảo rằng thì . Còn tính đóng với phép nhân thì hiển nhiên rồi.

Khi ngầm hiểu vành ( giao hoán ) luôn có đv thì ko coi iđêan là vành con . Tại sao thì ... ? khi đó ta có đn đơn giản : I R là iđêan nếu I là R-mođun .
------------------------------------------
Đn thứ 2 của Doreamon thì hơi lạ vì 1 iđean luôn là 1 nhóm con của nhóm cộng

[vinhspiderman]

2 đn nói trên thực ra là không khác nhau.

Theo mình biết,đn 1 thường được dùng trong các tài liệu mà khi đn vành không yêu cầu có đơn vị.Còn đn 2 được dùng trong các tài liệu mà khi đn vành yêu cầu có đơn vị.Vì vậy thật ra có thể chứng minh 2 đn này hoàn toàn tương đương.

Nếu hiểu một vành phải luôn có đơn vị thì khi đó ideal không là vành con,ví dụ như trong Z,(2) là một ideal chính nhưng không là vành vì không chứa 1.Còn nếu hiểu vành không cần đơn vị thì (2) là một vành con của Z.

[prime]

to haha. trong vanh giao hoan co don vi nguoi ta dinh nghia vanh con phai chua don vi nen mot idean chua don vi la chinh vanh do (tam thuong ).

[Doraemon]

Ideal là một đối tượng cơ bản của hình học đs.
Vậy một câu hỏi đặt ra là liệu hai định nghĩa khác nhau ở trên có ảnh hưởng đến sự làm việc trên đối tượng vành gh không?

[mathsbeginner]

Nếu khái niệm "vành con" bắt buộc đơn vị của 2 vành này trùng nhau thì định nghĩa thứ nhất về ideal không ổn lắm.

Định nghĩa theo cách thứ 2 thì mình gặp trong tất cả các sách mình đang học (đều làm việc với các vành có đơn vị). Còn trong quyển của S.Lang thì thay điều kiện i) bởi "I là nhóm với phép cộng"

[toanhoc]

Tôi nghĩ prime nói đúng. Thường người ta ngầm hiểu vành con có đơn vị trùng với vành lớn. Có trường hợp khổng trùng như khi ta có ideal sinh bởi 1 phần tử idempotent, lúc này thì ideal không là vành con.
Định nghĩa khác nhau là do quy ước của 2 sách khác nhau thôi, còn khái niệm thì giống nhau.

[Doraemon]

@ mathsbeginner:
Đối tượng vành của định nghĩa 1 được hiểu là không có đơn vị như đn 2.
Còn theo mình nghĩ, cốt yếu nhất của Ideal là tính hấp thụ như trên.