Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

THPT 1


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 thanhbinh0714

thanhbinh0714

    Giọt sương mai

  • Thành viên
  • 210 Bài viết

Đã gửi 06-01-2005 - 17:44

Mọi người vào thảo luận bài này một tẹo. Mà nếu thay 12 ỏ mẫu bằng số khác thì sao nhỉ?< Anh Tiêuson-trangsi ơi post đầ bài này lên đi ạ.>
Đẳng thưc xảy ra khi x=y=z=1/3 phải không a?

Một cây làm chẳng nên non

#2 TieuSonTrangSi

TieuSonTrangSi

    Thiếu úy

  • Founder
  • 526 Bài viết
  • Đến từ:Paris

Đã gửi 07-01-2005 - 00:34

Anh Tiêuson-trangsi ơi post đầ bài này lên đi ạ.

Nếu cho đáp án lên liền bây giờ thì e rằng không hợp với mục tiêu "thảo luận" của box này... Vậy, xin hướng dẫn chút nhé :D

Bài này là một sáng tác của bạn Phan Thành Nam (rất tích cực trên diễn đàn cũ, nhưng chưa thấy xuất hiện trên diễn đàn mới). Cách giải rất "kỳ lạ". Bắt đầu là như sau : không mất tổng quát, ta có thể giả sử . Ta sử dụng bổ đề :

(1)

trong đó . Các bạn hãy suy nghĩ cách thiết lập (1), cùng cách áp dụng (1) để chứng minh bài đưa ra nhé :clap

Đẳng thưc xảy ra khi x=y=z=1/3 phải không a?

Yes !
Chí lớn trong thiên hạ không đựng đầy đôi mắt của giai nhân

#3 thanhbinh0714

thanhbinh0714

    Giọt sương mai

  • Thành viên
  • 210 Bài viết

Đã gửi 07-01-2005 - 10:27

Anh Tiêuson-trangsi ơi post đầ bài này lên đi ạ

Nếu cho đáp án lên liền bây giờ thì e rằng không hợp với mục tiêu "thảo luận" của box này... Vậy, xin hướng dẫn chút nhé :D

Đẳng thưc xảy ra khi x=y=z=1/3 phải không a?

Yes !
Em chỉ nói anh đưa đầu bài lên thôi mà có đưa đáp án lên đâu nào http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beat.gif
Một cây làm chẳng nên non

#4 cauchy10k

cauchy10k

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

Đã gửi 07-01-2005 - 12:10

Chào các bạn ,về bài này mình đã chứng minh được một số bài tương tự
Đểhôm sau mình sẽ post len

#5 TieuSonTrangSi

TieuSonTrangSi

    Thiếu úy

  • Founder
  • 526 Bài viết
  • Đến từ:Paris

Đã gửi 07-01-2005 - 16:25

Xin lỗi thanhbinh0714 nhé, đọc lước qua nên hiểu lầm. Đây là đề bài THPT-1

Cho http://dientuvietnam...metex.cgi?x,y,z là 3 số thực không âm thỏa mãn [tex:]x+y+z=1$. Chứng minh bất đẳng thức


Ngoài bổ đề đã được đưa ra, cũng cần phải sử dụng (sau khi đã giả sử ).

Rất mong đọc bài của bạn cauchy10k.
Chí lớn trong thiên hạ không đựng đầy đôi mắt của giai nhân

#6 thanhbinh0714

thanhbinh0714

    Giọt sương mai

  • Thành viên
  • 210 Bài viết

Đã gửi 08-01-2005 - 08:45

Anh TS ơi em vẫn muốn hỏi anh nếu thay số 12 bằng số khác thì sao nhỉ?
Một cây làm chẳng nên non

#7 TieuSonTrangSi

TieuSonTrangSi

    Thiếu úy

  • Founder
  • 526 Bài viết
  • Đến từ:Paris

Đã gửi 08-01-2005 - 13:55

Câu hỏi độc đáo đấy :cafe Hãy thế số 12 bằng http://dientuvietnam...imetex.cgi?A>0. Dễ thấy rằng nếu http://dientuvietnam...imetex.cgi?A>12 thì vế trái với http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A nhỏ hơn vế trái với 12, nên bđt còn hiệu lực.

Vấn đề là nếu http://dientuvietnam...metex.cgi?A<12. Dĩ nhiên là nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A rất "nhỏ" (http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A để cho bđt tồn tại không ?

Riêng TS thì thật tình... không biết vì chưa suy nghĩ đến khía cạnh này. Trong đáp án, số 12 chỉ có công dụng giúp ta rút gọn một vài biểu thức dưới căn và làm cho chúng trở thành "chính phương". Bạn nào có ý kiến hay xin mời phát biểu :roll:
Chí lớn trong thiên hạ không đựng đầy đôi mắt của giai nhân

#8 TieuSonTrangSi

TieuSonTrangSi

    Thiếu úy

  • Founder
  • 526 Bài viết
  • Đến từ:Paris

Đã gửi 08-01-2005 - 14:49

Tiếp tục câu hỏi "thế 12 bằng http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?A" do thanhbinh0714 đưa ra. 2TS sẽ chứng minh rằng một điều kiện [b]cần.

Ta xét vấn đề một cách địa phương xung quanh điểm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=y=z=\dfrac{1}{3}, bằng khai triển Taylor. Đặt http://dientuvietnam...tex.cgi?x y z=1 nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\bar{x}+\bar{y}+\bar{z}=0. Khi khai triển đến bậc 2, ta biết rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\sqrt{x+\dfrac{(y-z)^2}{A}}\,=\,\sqrt{\dfrac{1}{3}+\bar{x}+\dfrac{(\bar{y}-\bar{z})^2}{A}}\,=\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{1+3\bar{x}+\dfrac{3(\bar{y}-\bar{z})^2}{A}}\,\simeq\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}&#091;1+\dfrac{3}{2}\bar{x}+\dfrac{3}{2A}(\bar{y}-\bar{z})^2-\dfrac{9}{8}\bar{x}^2]

Tương tự, ta cũng có

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\sqrt{y+\dfrac{(z-x)^2}{A}}\,\simeq\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}&#091;1+\dfrac{3}{2}\bar{y}+\dfrac{3}{2A}(\bar{z}-\bar{x})^2-\dfrac{9}{8}\bar{y}^2]

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\sqrt{z+\dfrac{(x-y)^2}{A}}\,\simeq\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}&#091;1+\dfrac{3}{2}\bar{z}+\dfrac{3}{2A}(\bar{x}-\bar{y})^2-\dfrac{9}{8}\bar{z}^2]

Cộng 3 công thức lại thì được

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\bar{x}+\bar{y}+\bar{z}=0, ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\bar{x}\bar{y}+\bar{y}\bar{z}+\bar{z}\bar{x}=-\dfrac{1}{2}(\bar{x}^2+\bar{y}^2+\bar{z}^2). Thế vào ^_^ thì được

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{3\sqrt{3}}{2A}-\dfrac{3\sqrt{3}}{8},<,0, từ đó suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A,>,4 :pea Xin nhắc lại : đây chỉ là một khảo sát địa phương.
Chí lớn trong thiên hạ không đựng đầy đôi mắt của giai nhân

#9 Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Truyện Kim Dung và đội Arsenal

Đã gửi 10-01-2005 - 11:31

Chào các bạn! Rất vui là bài toán này đã nhận được sự quan tâm của các bạn. Để các bạn có thể hiểu rõ bài toán và không còn thấy "kì lạ" (như lời anh Tráng Sĩ), tôi xin kể một chút "tiểu sử":
-Trước hết là một bất đẳng thức nổi tiếng của cụ Jack:

(p là nửa chu vi)
Bất đẳng thức này đã được nêu và cm trên báo THTT một lần, sau đó anh Vĩnh Anh đã cm BDT mạnh hơn: thay h_c bởi l_c với một cách cm khá ngắn.

-Ông Garner (không biết nhớ tênđúng không) là người đầu tiên cm BDDT này bằng cách đưa ra BDDT mạnh hơn:
:D
với c=min(a,b,c).

-Một hôm, bạn bietthucogianhoatim đố tôi một bài mà biến đổi một chút thì trở thành:
"Cho x,y,z>=0,x+y+z=1,z=min(x,y,z).Cm:
" (**)
Các bạn có thể thấy nó là một hình thức khác của BDDT :D. Trong hình thức này, ý cm của tiền bối được diễn đạt thành bổ đề mà anh Tráng Sĩ đã nêu.

-BDT (**) khá thú vị, tuy nhiên nó vẫn có cái gì đó hơi thiếu đối xứng. Do đó, tôi cố gắng "đối xứng hoá" nó thành:
"Cho x,y,z>=0,x+y+z=1,z=min(x,y,z).Cm:
" (***)
Trong trường hợp k=4 thì nó chính là BDDT:

Tuy nhiên như chúng ta đã biết thì BDDT này không đúng (đây là kết quả mà anh Tráng Sĩ vừa cm ở trên).

Vậy ít ra k phải lớn hơn 4. Cách cm của tôi đạt được với k=12 (số 12 vô tình đưa đến những biến đổi đại số rất đẹp), nhưng không biết đã là hằng số tốt nhất chưa (thật ra còn có nhiều cách tiếp cận khác nhưng thậm chí chưa cách nào đạt được k=12).
Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#10 TieuSonTrangSi

TieuSonTrangSi

    Thiếu úy

  • Founder
  • 526 Bài viết
  • Đến từ:Paris

Đã gửi 10-01-2005 - 14:28

Cám ơn bạn Phan Thành Nam (xin lỗi, bây giờ phải gọi là Hatucdao :D ) đã giải thích tận tường nguồn gốc của bài này. Có rất nhiều bđt đại số, nhất là những bđt có dấu căn, xuất phát từ hình học. Hóa ra bài này cũng thế :!: Đến đây thì 2TS xin đăng đáp án của bài này, nhưng dĩ nhiên chúng ta vẫn có thể tiếp tục thảo luận.

Lời giải
Không mất tổng quát ta giả sử . Ta có kết quả sau :

(1)

trong đó (chứng minh ở cuối bài). Áp dụng (1), với chú ý là ta có







Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Chính số 12 đã khiến cho các biểu thức dưới dấu căn trở thành "chính phương". Bây giờ, ta hãy chứng minh (1). Bình phương và rút gọn , ta được



Bình phương và rút gọn lần nữa, ta có BĐT tương đương



Vế trái của bđt này còn bằng



Do đó, bđt đúng vì . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Chí lớn trong thiên hạ không đựng đầy đôi mắt của giai nhân

#11 Kimluan

Kimluan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Yên

Đã gửi 17-01-2005 - 14:40

Vấn đề đặt ra rất hay.Em đã cố gắng tìm cách tiếp cận mới nhưng chưa được,mặc
dù vậy cũng thu được cái này tháy cũng rất hay .Xin nêu ra để các bác cùng xem:
cho a,b,c>=0 và a+b+c=1.CMR
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sqrt{a+\dfrac{(b-c)^2}{12}}+\sqrt{b+\dfrac{(c-a)^2}{12}}\sqrt{c+\dfrac{(a-b)^2}{12}}<=\sqrt{a+\dfrac{(1-3a)^2}{12}}+\sqrt{b+\dfrac{(1-3b)^2}{12}}+\sqrt{c+\dfrac{(1-3c)^2}{12}}
Chú ý rằng vế phải BĐT trên bằng sqrt(3) (cách chứng minh tương tự lời giải bài toán 1 bác Tiêu Sơn đã nêu,cũng rất hay!)nghĩa là bài toán trên tương đương bài toán 1.
cũng rất tự nhiên câu hỏi đặt ra là liệu có thể thay số 12 bằng những số nào khác
Câu hỏi này có phần khó hơn câu hỏi của bạn Thanhbinh rất nhiều nhưng lí thú cũng không kém.Rất mong sự đóng góp ý yến của các ban.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kimluan: 17-01-2005 - 14:43


#12 Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Truyện Kim Dung và đội Arsenal

Đã gửi 19-01-2005 - 13:32

Hi KimLuân http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beerchug.gif .
Xin nêu thêm một số bài liên quan (đã có trên diễn đàn cũ) để các bạn tham khảo (mấy cái này hôm trước post rồi nhưng diễn đàn có sự cố nên bị mất).
Bài 1.

Bài 2.
(bài này đã nói ở trên, có cách cm rất gọn bằng Bunhíacốpski)

Bài 3.
(bài này của bạn bietthucogianhoatim, trên diễn đàn cũ chưa ai giải được với ...5 dòng theo như lời thách cả)
Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#13 cauchy10k

cauchy10k

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

Đã gửi 21-01-2005 - 13:54

em cung xin gop 1bai
cho x,y,zla các số dương có tổng bằng 1
Cmr sprt(x+(y-z)^2/4) +.....<= 1/căn bậc 6 (xyz) :P http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beerchug.gif :namtay http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beerchug.gif

#14 Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Truyện Kim Dung và đội Arsenal

Đã gửi 24-01-2005 - 11:27

Hi Cauchy! Bài của em về phương diện hình học thì hơi yếu. Xét tam giác có 3 cạnh là a=y+z,b=z+x,c=x+y, ta có:

trong đó: , do đó ta còn có BĐT mạnh hơn:

Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh