Chủ đề này có 5 trả lời

[monkey_goodluck]

CMR a,b,c thực dương
$ \dfrac{a}{ \sqrt{a^2 +8bc}} + \dfrac{b}{ \sqrt{b^2+8ac}} + \dfrac{c}{ \sqrt{c^2+8ab}} \geq 1 $

[dante_dmc4]

CMR a,b,c thực dương
$ \dfrac{a}{ \sqrt{a^2 +8bc}} + \dfrac{b}{ \sqrt{b^2+8ac}} + \dfrac{c}{ \sqrt{c^2+8ab}} \geq 1 $

imo năm nào đó thì phải
Đặt Q là biểu thức đó, P= $a(a^2+8bc)$
Theo bdt Holder thì
$P.Q^2 $ $(a+b+c)^3 $
Sẽ cm: $(a+b+c)^3 $ P tương đương (a+b)(b+c)(c+a) 8abc đúng theo AM-GM
Vậy $Q^2$ 1 hay Q 1(dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dante_dmc4: 02-01-2011 - 21:01

[Love.Very.Vn]

có bạn nầo làm bằng bdt cosi ko zay

[h.vuong_pdl]

Bài này có một cách bằng AM-GM (cô-si):
đó là đánh giá:
$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} \ge \dfrac{a^m}{a^m+b^m+c^m}$
tương tự rồi cộng lại ta có ngay đpcm!
bây giờ chỉ cần tìm m cho hợp lí nữa là OK!
Chọn được $m = \dfrac{1}{3}$
và công việc còn lại khá đơn giản xin dành cho các bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 03-01-2011 - 15:37

[h.vuong_pdl]

Ngoài cách trên, mình còn thayas xuất hiện một cách giải khác nữa rất hay + đẹp + đặc biệt + đơn giản:
Đặt: $x = \sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+8bc}}, y = ..., z = ...$
thì $(\dfrac{1}{x^2}-1)(\dfrac{1}{y^2}-1)(\dfrac{1}{z^2}-1) =8^3$
Lại đặt $S = x+y+z.$
+) Nếu $S < 1$ thì $(\dfrac{1}{x^2}-1)(\dfrac{1}{y^2}-1)(\dfrac{1}{z^2}-1) > (\dfrac{S^2}{x^2}-1)(\dfrac{S^2}{y^2}-1)(\dfrac{S^2}{z^2}-1) \ge 8^3 \to$ mâu thuẫn!

(BDT: $(\dfrac{S^2}{x^2}-1)(\dfrac{S^2}{y^2}-1)(\dfrac{S^2}{z^2}-1) \ge 8^3$ Cm rất đơn giản = BDT AM-GM!)
Vậy phải có $S \ge 1 \to dpcm!$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 03-01-2011 - 15:45

[RainThunde]

Cách sau đây cũng từ Holder mà ra
Ta có:
$\dfrac{a}{\sqrt{{a}^{2}+8bc}}+\dfrac{a}{\sqrt{{a}^{2}+8bc}}+\dfrac{a({a}^{2}+8bc)}{{(a+b+c)}^{3}} \geq \dfrac{3a}{a+b+c}$
cộng từng vế
cuối cùng ta chỉ phải chứng minh
${a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}+24abc \leq {(a+b+c)}^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RainThunde: 13-01-2011 - 19:33