Chủ đề này có 31 trả lời

[dark templar]

đc mà có phải $xy(x+y+1)= x^{2} + y^{2}\leq \dfrac{x^{2} + y^{2}}{2} (x+y+1)$
$\Rightarrow x+y\geq 1$ còn gì

Bạn biết $x+y+1$ dương hay âm chưa mà có được $xy(x+y+1) \leq \dfrac{x^2+y^2}{2}.(x+y+1)$??????

[dark templar]

Đây là bài giải của mình cho câu 4:
Đặt $a = \dfrac{1}{x};b = \dfrac{1}{y}\left( {a,b \ne 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = a^3 + b^3 \\ \dfrac{1}{{ab}}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) = \dfrac{1}{{a^2 }} + \dfrac{1}{{b^2 }} - \dfrac{1}{{ab}} \\ \end{array} \right. $
$\Rightarrow a + b = a^2 + b^2 - ab > 0,\forall a,b \ne 0 $
$a^2 + b^2 \ge 2ab \Leftrightarrow a^2 + b^2 - ab \ge ab \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a^2 + b^2 - ab} \right) \ge \left( {a + b} \right)ab\left( {a + b > 0} \right) $
$\Leftrightarrow a^3 + b^3 \ge ab\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow 4\left( {a^3 + b^3 } \right) \ge \left( {a + b} \right)^3 $
$A = a^3 + b^3 = \left( {a + b} \right)\left( {a^2 + b^2 - ab} \right) = \left( {a + b} \right)^2 \ge \dfrac{{\left( {a + b} \right)^3 }}{4} $
$\Rightarrow a + b \le 4 \Rightarrow A \le 16 $
$A_{\max } = 16 \Leftrightarrow a = b = 2 \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-01-2011 - 20:35

[flavor_fall]

Từ giả thuyết ko suy ra được $x+y \geq 1$ đâu bạn !

mình sửa lại nhé $xy(x+y)\leq x^{3} + y^{3} $
$\Rightarrow x^{2} + y^{2} -xy\leq x^{3} + y^{3} $
từ đó dc $x+y\geq 1$

[dark templar]

mình sửa lại nhé $xy(x+y)\leq x^{3} + y^{3}(1) $
$\Rightarrow x^{2} + y^{2} -xy\leq x^{3} + y^{3} $
từ đó dc $x+y\geq 1$

BĐT (1) mà bạn sử dụng phải có điều kiện $x,y>0$ hay tối thiểu phải có $x+y>0$ .Điều này ko thể xảy ra vì $x,y \neq 0$ thôi!bạn xem lại đi nhé!

[dark templar]

Hôm nay rảnh rỗi ,ngồi gõ bài giải cho các bài còn lại(gồm bài 3 và câu 2b)
Bài 3:
Đặt $v_n = 2n.u_n \Rightarrow v_{n - 1} = \left( {2n - 2} \right)u_{n - 1} $
Theo giả thuyết ta có $2n.u_n = \left( {2n - 2} \right)u_{n - 1} - u_{n - 1} \Rightarrow v_n = v_{n - 1} - u_{n - 1}$
$\Rightarrow u_{n - 1} = v_{n - 1} - v_n \left( 1 \right) $
Áp dụng (1),cho $n$ chạy từ 2 đến $n+1$ rồi cộng vế theo vế các đẳng thức vừa thu đc ,ta có
$\sum\limits_{i = 1}^n {u_i } = \left( {v_1 - v_2 } \right) + \left( {v_2 - v_3 } \right) + ... + \left( {v_n - v_{n + 1} } \right) = v_1 - v_{n + 1} < 2.1.u_1 = 1\left( {dpcm - v_{n + 1} > 0} \right)$


Bài 2b
$\left\{ \begin{array}{l}3x^2 - y = 1 \\ \left( {\sqrt {5x^3 - 4} + 2\sqrt[3]{{7x^2 - 1}}} \right)\left( {\dfrac{{y + 4}}{3}} \right) = 2\left( {y + 19} \right) \\ \end{array} \right.\left( {x^3 \ge \dfrac{4}{5} > 0} \right) $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x^2 - 1 \\ \left( {\sqrt {5x^3 - 4} + 2\sqrt[3]{{7x^2 - 1}}} \right)\left( {x^2 + 1} \right) = 6\left( {x^2 + 6} \right)\left( 1 \right) \\ \end{array} \right. $
$\left( 1 \right):\underbrace {\sqrt {5x^3 - 4} + 2\sqrt[3]{{7x^2 - 1}}}_{ = f\left( x \right)} = \underbrace {\dfrac{{6\left( {x^2 + 6} \right)}}{{x^2 + 1}}}_{ = g\left( x \right)}$
$f'\left( x \right) = \dfrac{{15x^2 }}{{2\sqrt {5x^3 - 4} }} + \dfrac{{28x}}{{3\sqrt[3]{{\left( {7x^2 - 1} \right)^2 }}}} > 0,\forall x \ge \sqrt[3]{{\dfrac{4}{5}}}$.Suy ra $f(x)$ đồng biến trên tập xác định của $x$
$g'\left( x \right) = \dfrac{{6.5.\left( { - 2x} \right)}}{{\left( {x^2 + 1} \right)^2 }} < 0,\forall x \ge \sqrt[3]{{\dfrac{4}{5}}} $.Suy ra $g(x)$ nghịch biến trên tập xác định của $x$
Suy ra phương trình $f(x)=g(x)$ có nghiệm duy nhất ,mà $f(2)-g(2)=0$ nên $x=2$ là nghiệm duy nhất của (1)
Thế $x=2$ vào phương trình đầu ,ta thu đc $y=11$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;11)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 22-01-2011 - 12:03

[h.vuong_pdl]

Môn Toán - Lớp 11 - thời gian làm bài 120 phút.

Câu 1: Giải các phương trình sau:
$a): 10\sqrt{x^6+1} - 3x^4 = 6.$
$b): cos2x.cosx-2sin(3+sinxcosx)=3$

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{1}{k}, \dfrac{SN}{SB} = \dfrac{1}{k+1}, \dfrac{SP}{SC} = \dfrac{1}{k+2}$ ( Với k là số thực dương khác 1).
a) Chứng minh rằng: Các giao điểm của các đường thẳng MN, MP, NP với mặt phẳng (ABC) thẳng hàng.
b) Chứng minh: Giao tuyến của mp(MNP) với mp(ABC) luôn song song với một đường thẳng cố định, khi k thay đổi.

Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà chữ số hàng nghìn nhỏ hơn chữ số hàng trăm, chữ số hàng trăm nhỏ hơn chữ số hàng chục, chữ số hàng chụ nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị.

Câu 4: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi các điều kiện:
$i): u_1 =a \\ ii): u_{n+1} = b.u_n + c$, với mọi n = 1, 2, 3, .... Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, $b \neq \{0;1\}$
Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho.

Câu 5: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
$\dfrac{bc}{a^2b+a^2c} + \dfrac{ca}{b^2c+b^2a} + \dfrac{ab}{c^2a+c^2b} \ge \dfrac{3}{2}$


CÒn đây là đề thi HSG trường mình

p/s: dark_templar : đề thi sao không có hình ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 25-01-2011 - 17:54

[dark templar]

Môn Toán - Lớp 11 - thời gian làm bài 120 phút.

Câu 1: Giải các phương trình sau:
$a): 10\sqrt{x^6+1} - 3x^4 = 6.$
$b): cos2x.cosx-2sin(3+sinxcosx)=3$

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{1}{k}, \dfrac{SN}{SB} = \dfrac{1}{k+1}, \dfrac{SP}{SC} = \dfrac{1}{k+2}$ ( Với k là số thực dương khác 1).
a) Chứng minh rằng: Các giao điểm của các đường thẳng MN, MP, NP với mặt phẳng (ABC) thẳng hàng.
b) Chứng minh: Giao tuyến của mp(MNP) với mp(ABC) luôn song song với một đường thẳng cố định, khi k thay đổi.

Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà chữ số hàng nghìn nhỏ hơn chữ số hàng trăm, chữ số hàng trăm nhỏ hơn chữ số hàng chục, chữ số hàng chụ nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị.

Câu 4: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi các điều kiện:
$i): u_1 =a \\ ii): u_{n+1} = b.u_n + c$, với mọi n = 1, 2, 3, .... Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, $b \neq \{0;1\}$
Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho.

Câu 5: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
$\dfrac{bc}{a^2b+a^2c} + \dfrac{ca}{b^2c+b^2a} + \dfrac{ab}{c^2a+c^2b} \ge \dfrac{3}{2}$


CÒn đây là đề thi HSG trường mình

p/s: dark_templar : đề thi sao không có hình ?

Do thầy mình chưa dạy kỹ tụi mình về phần Hình ko gian nên ......(thầy dạy mình ra đề mà!!)

[dark templar]

Môn Toán - Lớp 11 - thời gian làm bài 120 phút.

Câu 4: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi các điều kiện:
$i): u_1 =a \\ ii): u_{n+1} = b.u_n + c$, với mọi n = 1, 2, 3, .... Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, $b \neq \{0;1\}$
Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho.

Câu 5: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
$\dfrac{bc}{a^2b+a^2c} + \dfrac{ca}{b^2c+b^2a} + \dfrac{ab}{c^2a+c^2b} \ge \dfrac{3}{2}$


CÒn đây là đề thi HSG trường mình

p/s: dark_templar : đề thi sao không có hình ?

Topic này hay vậy mà ko có ai vô chém hết ta !
Chém trước câu 4 và 5 (2 câu dễ nhất )
Bài 4:
Mình mới nghĩ ra 2 cách giải thôi !
Cách 1 :Sử dụng ngay pt đặc trưng của tuyến tính bậc nhất là ra!(cách này mình ko thích lắm vì nó chẳng có gì là sáng tạo cả!Chỉ cần thuộc công thức rồi ráp số phang vô thôi!)
Cách 2:Đặt $u_n = v_n + \alpha $ rồi xài đồng nhất thức tính $\alpha$ theo $b,c$ ,ta sẽ đưa dãy $\left\{ {u_n } \right\}$ về dãy cấp số nhân $\left\{ {v_n } \right\}$ công bội là $b$.Đến đây thì giải đơn giản rồi!


Bài 5:
Bài này thì quá cũ rồi !(IMO năm 1995 thì phải)Đổi biến $a,b,c$ thành $\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}$ rồi C-S là xong ngay!
Đây là bài tổng quát :
Cho $ \beta \geq 2,a,b,c>0;abc=1$.Chứng minh:$\dfrac{{bc}}{{a^{\beta - 1} \left( {b + c} \right)}} + \dfrac{{ac}}{{b^{\beta - 1} \left( {a + c} \right)}} + \dfrac{{ab}}{{c^{\beta - 1} \left( {a + b} \right)}} \ge \dfrac{3}{2}$

[hxthanh]

Môn Toán - Lớp 11 - thời gian làm bài 120 phút.

Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà chữ số hàng nghìn nhỏ hơn chữ số hàng trăm, chữ số hàng trăm nhỏ hơn chữ số hàng chục, chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị.

Giải thử bài này
- Giả sử chấp nhận cả chữ số hàng nghìn là 0. Khi đó mỗi tổ hợp chập 4 của 10 chữ số phân biệt {0,1,...,9} đều sắp được thứ tự như yêu cầu đề bài. Có $C_{10}^4=210$ số như vậy
- Với các số bắt đầu bởi 0. Tương tự tính được $C_9^3=84$ số có 3 chữ số phân biệt từ {1,2,...,9}
Vậy tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số thỏa đề bài là 210-84=126 số.

[assign]

Inequality:(Proposed by Nguyễn Bảo Phúc)
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:$\left( {a^2 + b^2 + ab} \right)\left( {b^2 + bc + c^2 } \right)\left( {c^2 + a^2 + ca} \right) \ge \left( {ab + bc + ca} \right)^3$

Đây chẳng phải là bất đẳng thức Holder sao

[assign]

Bây giờ mình post đề của kỳ thi do lớp chuyên Toán trường THPT Nguyễn Thượng Hiền đề nghị :
KỲ THI BTMO-BT MATHEMATICAL OLYMPIAD-KỲ 1


Functional Equation:(Proposed by Thái Nguyễn Hưng)
Cho $f:\left\{ \begin{array}{l}N^* \to N^* \\ n \mapsto f\left( n \right) \\ \end{array} \right.$ thỏa $f\left[ {f\left( m \right) + f\left( n \right)} \right] = m + n,\forall m,n \in N^* $.Tính $f(2010)$

Có bài gần tương tự như sau:

Tìm tất cả các hàm $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ thỏa mãn $f(f(m)+f(n))=m+n $ for all $m,n \in \mathbb{N} $

[khanh3570883]

Môn Toán - Lớp 11 - thời gian làm bài 120 phút.

Câu 1: Giải các phương trình sau:
$a): 10\sqrt{x^6+1} - 3x^4 = 6.$

chém trước câu này )
Đặt $x^2=a>0$ $\sqrt{a^3+1}=b>0$ ta có:
$10b-3a^2=6$
$a^3+1=b^2$
=> $9a^4+36a^2+36=100a^3+100$
PT bậc 4 là ra rồi )
còn câu b thì xin kiếu vì tại hạ mới học lớp 10 thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanh3570883: 10-02-2011 - 21:40