Chủ đề này có 64 trả lời

[perfectstrong]

Đổi sang bài này nhá. Bài này chế lâu rồi /
$ a,b,c $ là các số thực dương. CMR:
$ \dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b} +\dfrac{16(ab+bc+ca)}{a+b+c} \ge 5(a+b+c) $

bđt thức kiểu này thì tụi em chết đứ đừ.

[MR.LẠI TRUNG MINH ĐỨC]

Mình góp vui bài này nhé!
Cho các số thực dương a,b,c thõa mãn ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$. CMR:
$\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} \le \dfrac{3}{2}$




ps:anh Cường giải bài của anh đi ạ! Cho bọn em tham khảo.

[liemprosuper]

Mình góp vui bài này nhé!
Cho các số thực dương a,b,c thõa mãn ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$. CMR:
$\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} \le \dfrac{3}{2}$
ps:anh Cường giải bài của anh đi ạ! Cho bọn em tham khảo.

lỡ a=b=c=0,5 thì sao, có đuợc đâu
hic, anh quốc cường ơi cái này em ko hiu
Let a+b+c=3u, $ab+ac+bc=3v^2$ and $abc=w^3.$
Hence, your inequality is equivalent to$ f(w^3)\geq0$, where f is a linear function.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi liemprosuper: 20-01-2011 - 12:26

[wallunint]

Cám ơn bạn liemprosuper! Có bài này hay, mình rất thích nó. Các bạn vào làm thử nhé.
cho các số thực không âm a,b,c thõa mãn $ab+ca+bc>0 $. CMR:
a) $\dfrac{{2ca + bc}}{{2{a^2} + bc}} + \dfrac{{2bc + ca}}{{2{b^2} + ca}} \ge \dfrac{{4c}}{{a + b + c}}$
b) $\dfrac{{a(b + c)}}{{2{a^2} + bc}} + \dfrac{{c(b + a)}}{{2{c^2} + ba}} + \dfrac{{b(a + c)}}{{2{b^2} + ac}} \ge 2$





ps: chủ yếu là bài (b) thôi. Còn bài (a) thì THCS cũng hơi quá sức đấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 30-01-2011 - 21:09

[wallunint]

Mình góp vui bài này nhé!
Cho các số thực dương a,b,c thõa mãn ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$. CMR:
$\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} \le \dfrac{3}{2}$
ps:anh Cường giải bài của anh đi ạ! Cho bọn em tham khảo.

Cái đề này ko bit bạn lấy ở đâu nhưng mình xin chỉnh lại đề như sau:
Cho các số thực dương a,b,c thõa mãn $ab + ac + bc = 1$. CMR:
$\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} \le \dfrac{5}{2}$

[nguyen thai phuc]

Đổi sang bài này nhá. Bài này chế lâu rồi /
$ a,b,c $ là các số thực dương. CMR:
$ \dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b} +\dfrac{16(ab+bc+ca)}{a+b+c} \ge 5(a+b+c) $

bài này rất hay . Gợi ý là nhân thêm a+b+c cả 2 vế, thu gọn những cái cần thu gọn rồi AM-GM . Thử làm thử đi nhá .
(đúng là lớp 8 thật )

[liemprosuper]

nữa nữa.1..giải phương trình:$ \sqrt{x-2}+ \sqrt{4-x}=2x^2-5x-1$
2..cho a,b,c là các số thực duơng.cm
$ \dfrac{19a^3-b^3}{ab+5b^2} + \dfrac{19b^3-c^3}{bc+5c^2} + \dfrac{19c^3-a^3}{ac+5a^2} \leq 3(a+b+c)$
ma moi nguoi pót het loi giai ra di, u dong qua(tru vai bai để tết suy nghĩ)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi liemprosuper: 24-01-2011 - 20:33

[NguyThang khtn]

bài này rất hay . Gợi ý là nhân thêm a+b+c cả 2 vế, thu gọn những cái cần thu gọn rồi AM-GM . Thử làm thử đi nhá .
(đúng là lớp 8 thật )

anh làm rõ giúp em được ko?

[NguyThang khtn]

tiện thể giúp em mấy bài này cái!
1.cho $x,y, z$ không âm. vs $x+y+z=3.$ c,mr $x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4$

2. cho $a,b,c>0 $và $abc=1$ cmr $\dfrac{a}{a^2+2} + \dfrac{b}{b^2+2}+ \dfrac{c}{c^2+2} \leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 25-01-2011 - 22:21

[le anh tu]

nữa nữa.1..giải phương trình:$ \sqrt{x-2}+ \sqrt{4-x}=2x^2-5x-1$
2..cho a,b,c là các số thực duơng.cm
$ \dfrac{19a^3-b^3}{ab+5b^2} + \dfrac{19b^3-c^3}{bc+5c^2} + \dfrac{19c^3-a^3}{ac+5a^2} \leq 3(a+b+c)$
ma moi nguoi pót het loi giai ra di, u dong qua(tru vai bai để tết suy nghĩ)

2, Ta thấy: $\dfrac{19 b^{3}- a^{3} }{ab+5 b^{2} } $ 4$ b^{} - a^{} $
Tương tự với 2bt còn lại dpcm
Em cũng có 1 bài tương tự:
cho a,b,c là các số thực duơng.cm:
$ \dfrac{5b^3-a^3}{ab+3b^2} + \dfrac{5c^3-b^3}{bc+3c^2} + \dfrac{5a^3-c^3}{ac+3a^2} \leq a+b+c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le anh tu: 25-01-2011 - 22:48

[dark templar]

tiện thể giúp em mấy bài này cái!
1.cho $x,y, z$ không âm. vs $x+y+z=3.$ c,mr $x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4$

Chém thử bài 1 xem:
Đặt $p=a+b+c=3;q=ab+bc+ca;r=abc \Rightarrow p \in [0;3];r \in [0;1]$
Viết lại BĐT cần cm dưới dạng sau:
$9-2q+r \geq 4$
Theo BĐT Schur bậc 3 ,ta có :$r \geq \max \{0;\dfrac{4q-9}{3} \}$
Xét 2 trường hợp :
$q \in [0;\dfrac{9}{4}]$
Ta có $VT \geq 9-2q \geq 4 \Leftrightarrow q \leq \dfrac{5}{2}$(luôn đúng $ \forall q \in [0;\dfrac{9}{4}]$)
$q \in (\dfrac{9}{4};3]$
Ta có $VT \geq 9-2q+\dfrac{4q-9}{3} \geq 4 \Leftrightarrow q \leq 3$(luôn đúng)
$Q.E.D$

[9xlove9xx]

khiếp, mấy cái bài toán giải mà đau cả đầu, thôi để tui post mấy bài dễ dễ thôi cho nhẹ nhàng
1)CM $ \dfrac{1}{ \sqrt{1}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{2}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{3}}+... +\dfrac{1}{ \sqrt{2010}} \geq \sqrt{2010} $

Áp dụng:

$ \dfrac{1}{\sqrt{k}} = \dfrac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}} \geq \dfrac{2}{\sqrt{k} + \sqrt{k-1}} = 2.(\sqrt{k} - \sqrt{k -1}) $

[Nguyễn Thái Vũ]

1) Choa,b,c là các số thực dương thoã mãn: $a+b+c=1$. CMR:
$9abc +1$ $4(ab+ac+bc)$

bài 2 này dễ hơn tí
2) Cho các số thực dương a,b,c. CMR:
$\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a}$ $\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{b+2c+a}+\dfrac{1}{c+2a+b}$

Đễ bữa sau post tiếp.
ps: mấy anh VIP cấp 3 đừng chém nghe !!

Cái bài 1 suy ra từ Schur

[Nguyễn Thái Vũ]

Bài 1 này cũng có thể phát triển thêm như sau:
a) $9abc+2$ $7(ab+ac+bc)$.
b) $5(a^2+b^2+c^2)\leq6(a^3+b^3+c^3)+1$

mời các bạn cùng giải. Mà bài (b) mình có giải trên diển đàn rồi. Mấy bạn làm lại cũng đc.

Bài 1 lại schur , bài 2 xem Old and new inequality(Titu Andreescu- Zuming Feng) Problem 11 page 9.

[dark templar]

Mấy em THCS chém thử mấy bài này xem:
1/Cho $x,y,z>0$ .Tìm GTNN của $P=x\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{{yz}}} \right) + y\left( {\dfrac{y}{2} + \dfrac{1}{{zx}}} \right) + z\left( {\dfrac{z}{2} + \dfrac{1}{{xy}}} \right)$

2/Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x(x+y+z)=3yz$.Chứng minh rằng:
$\left( {x + y} \right)^3 + \left( {x + z} \right)^3 + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \le 5\left( {y + z} \right)^3 $

[wallunint]

Mấy em THCS chém thử mấy bài này xem:
1/Cho $x,y,z>0$ .Tìm GTNN của $P=x\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{{yz}}} \right) + y\left( {\dfrac{y}{2} + \dfrac{1}{{zx}}} \right) + z\left( {\dfrac{z}{2} + \dfrac{1}{{xy}}} \right)$

cám ơn anh darktemplar vì mấy bài này.
bài 1) Theo BDT AM-GM, ta có:
$P = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{{xyz}} + \dfrac{{{y^2}}}{2} + \dfrac{{{y^2}}}{{xyz}} + \dfrac{{{z^2}}}{2} + \dfrac{{{z^2}}}{{xyz}} = \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{xyz}}} \right) \ge \dfrac{1}{2}.9\sqrt[3]{{{x^2}{y^2}{z^2}}}.\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{{x^2}{y^2}{z^2}}}}} = 4,5$
Vậy $P\min = 4,5 \Leftrightarrow x = y = z$

[wallunint]

Mấy em THCS chém thử mấy bài này xem:

2/Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $X(x+y+z)=3yz$.Chứng minh rằng:
$\left( {x + y} \right)^3 + \left( {x + z} \right)^3 + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \le 5\left( {y + z} \right)^3 $

nếu em không nhớ nhầm thì đây là Đề thi ĐH khối A năm 2009 - năm đó anh em cũng có thi.
lúc đó em lớp 8 nên làm khá dài và có dùng tương đương vài lần và sử dụng HDT:
${a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)$
vì thế hơi dài
ai làm đc cách ngắn thì post giúp em với nhá !!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 29-01-2011 - 18:05

[wallunint]

Mấy em THCS chém thử mấy bài này xem:
2/Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $ x . (x+y+z)=3yz $.Chứng minh rằng:
$\left( {x + y} \right)^3 + \left( {x + z} \right)^3 + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \le 5\left( {y + z} \right)^3 $

Có ai giải đi chứ nhỉ, lớp 8 là đủ sức chặt chém bài này rồi
chả lẽ mình chỉ có mình tự sướng trong topic này sao??
ở trên còn vài bài chưa giải đấy

1) Cho các số thực không âm a,b,c thõa mãn $ab+ca+bc>0 $. CMR:
a) $\dfrac{{2ca + bc}}{{2{a^2} + bc}} + \dfrac{{2bc + ca}}{{2{b^2} + ca}} \ge \dfrac{{4c}}{{a + b + c}}$
b) $\dfrac{{a(b + c)}}{{{a^2} + bc}} + \dfrac{{c(b + a)}}{{{c^2} + ba}} + \dfrac{{b(a + c)}}{{{b^2} + ac}} \ge 2$

2) Cho các số thực không âm a,b,c thõa mãn $ab + ac + bc = 1$. CMR:
$\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} \ge \dfrac{5}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 01-02-2011 - 10:27

[dark templar]

Có ai giải đi chứ nhỉ, lớp 8 là đủ sức chặt chém bài này rồi
chả lẽ mình chỉ có mình tự sướng trong topic này sao??
ở trên còn vài bài chưa giải đấy

1) Cho các số thực không âm a,b,c thõa mãn $ab+ca+bc>0 $. CMR:
a) $\dfrac{{2ca + bc}}{{2{a^2} + bc}} + \dfrac{{2bc + ca}}{{2{b^2} + ca}} \ge \dfrac{{4c}}{{a + b + c}}$
b) $\dfrac{{a(b + c)}}{{2{a^2} + bc}} + \dfrac{{c(b + a)}}{{2{c^2} + ba}} + \dfrac{{b(a + c)}}{{2{b^2} + ac}} \ge 2$

2) Cho các số thực dương a,b,c thõa mãn $ab + ac + bc = 1$. CMR:
$\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} \le \dfrac{5}{2}$

Các bài này quả thật quá sức THCS rồi !
Anh gợi ý thôi nhé!
Bài 1 cả 2 bài đều xài biến đổi tương đương mà thôi (dài khủng khiếp )
Bài 2 thì đề ngược dấu rồi đó em ! phải là lớn hơn hay bằng ! Và giả thuyết phải là các số thưc không âm !
Bài 2 này thì xài dồn biến ra biên là chém được ngay thôi !Ngoài ra bài này còn 2 cách giải nữa ,để khi nào rảnh anh post lên cho tham khảo
P/s:Chú nào đề nghị bài 2 thế nhỉ ? Làm bài cũng phải lượng sức mình chứ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 30-01-2011 - 23:36

[wallunint]

Các bài này quả thật quá sức THCS rồi !
Anh gợi ý thôi nhé!
Bài 1 cả 2 bài đều xài biến đổi tương đương mà thôi (dài khủng khiếp )
Bài 2 thì đề ngược dấu rồi đó em ! phải là lớn hơn hay bằng ! Và giả thuyết phải là các số thưc không âm !
Bài 2 này thì xài dồn biến ra biên là chém được ngay thôi !Ngoài ra bài này còn 2 cách giải nữa ,để khi nào rảnh anh post lên cho tham khảo
P/s:Chú nào đề nghị bài 2 thế nhỉ ? Làm bài cũng phải lượng sức mình chứ !

Em xin lỗi anh dark templar nhé !
Em là người post 2 bài ấy lên đấy Do thấy sức mình làm được nên post lên cho mọi người xem tí cho vui thôi.
Với lại em hay quên mấy cái đk lắm à.
Bài 1 Không cần biến đổi tương đương mà cũng ra thôi à
Gợi ý: bài 1b Giả sử $a \geqslant b \geqslant c$
rồi sử dụng BDT $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$
sau đó ta biến đổi tương đương nhưng ko dài lắm đâu ()
Bài 2 thì theo em nghĩ ko cần dồn biến gì cả vẩn làm đc.
nhưng anh cứ post mấy cách giải của anh cho em tham khảo nhá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 31-01-2011 - 08:11