Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\int_{0}^{1} \dfrac{ln(1+x)dx}{x^2 +1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 bolero

bolero

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Đã gửi 20-01-2011 - 17:22

$\int_{0}^{1} \dfrac{\ln(1+x)\text dx}{x^2 +1}$


hic :(

#2 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 24-10-2013 - 15:53



$\int_{0}^{1} \dfrac{\ln(1+x)\text dx}{x^2 +1}$

 

Đặt $x=\tan t$ ta có $dx=(1+\tan ^2t)dt$ và suy ra $\frac{dx}{1+x^2}=dt$

 

Với $x=0$ thì $t=0$, với $x=1$ thì $t=\frac{\pi }{4}$

 

Khi đó $$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\tan t)dt$$

 

Đặt $t=\frac{\pi }{4}-u$ suy ra $dt=-du$

 

Với $t=0$ thì $u=\frac{\pi }{4}$, với $t=\frac{\pi }{4}$ thì $u=0$

 

Ta có $$1+\tan t=1+\tan (\frac{\pi }{4}-u)=1-\frac{1-\tan u}{1+\tan u}=\frac{2}{1+\tan u}$$

 

Suy ra

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\ln \frac{2}{1+\tan u}du=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\left [ \ln 2-\ln (1+\tan u) \right ]du=\ln 2\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}du-I$

 

Suy ra $2I=\ln 2\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}du=\frac{\pi }{4}\ln 2$

 

Vậy $I=\frac{\pi }{8}\ln 2$

 

 

P/S: Đề này là đề Giúp bạn tự ôn thi số 3 của tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 311 tháng 5/2003.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 24-10-2013 - 15:59

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh