Chủ đề này có 7 trả lời

[tnk]

Thấy có người giải toán nhoay nhoáy, bèn đem bài này ra hỏi



Prove that:
with

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tnk: 27-07-2005 - 17:24

[tnk]

http://www.diendanto...?showtopic=4073 (Bài 2)

Đây là bài 2 TST của VN năm 1999, tìm đa thức đó (hoặc biểu diễn đa thức đó)

[nalpaction]

Giả sử http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P(x)=a\big(xP^{'}(x)-(x^{2}-4)P^{''}(x)\big)
Đồng nhất hệ số hai vế phương trình này suy ra http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P(x) xác địng duy nhất sai khác một thừa số nhân.Mặt khác http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P(2)\in\{-2;-2\},do đó có không quá hai đa thức thỏa mãn (i) với http://dientuvietnam...tex.cgi?P_{0}(x)=2;P_{1}(x)=x;P_{n+2}(x)=xP_{n+1}(x)-P_{n}(x) thỏa mãn (i).
Thực chất http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?n.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nalpaction: 28-07-2005 - 16:03

[tnk]

Yeah bài đó làm đúng rồi, còn bài 1 . Coi bên mathlink thấy chưa có ai giải được, chắc toàn dùng các technique quen thuộc nên ko làm được chăng??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tnk: 28-07-2005 - 17:33

[hoang]

Ta se cm la neu a=min{a,b,c,d} thi

f(a,b,c,d) f(1-a,b,c,d)

Xet hieu cua 2 so nay , dieu nay tuong duong voi

(2a-1) .(a^2-a+1) +(b^4+ c^4+d^4) .[ 1/a- 1/(1-a) ] 0

(1-2.a).[ b^4+c^4+d^4 - a.(1-a)(a^2-a+1) ] 0

Ta co a=min{b,c,d} nen bieu thuc trong ngoac vuong khong nho hon

2.a^4+ 2.a^3 -2.a^2+a =a.(2.a^3 + 2.a^2 -2.a+1) >0

Vay neu ta co a (0,1/2) va a=min{a,b,c,d} thi

f(a,b,c,d) f(1-a,b,c,d)

Bay gio ta co min{ 1-a,b,c,d} la mot trong 3 so b,c,d nam trong khoang (0,1/2) , gia

su la b ta co

f(1-a,b,c,d) : geq f(1-a,1-b,c,d)

Cu tiep tuc nhu vay sau 2 lan nua ta se co duoc

f(a,b,c,d) : geq f(1-a,1-b,1-c,1-d)

[tnk]

Ban co 1 y chung minh rat hay, nhung toi phan van:

f(a,a,a,a) = f(1-a,1-a,1-a,1-a) = 4

Thi` theo CM cua ban ta co':

f(a,a,a,a) = f(1-a,a,a,a) ???? Dieu nay chac chan sai!!!

Xin loi toi chua kiem tra cu the chung minh cua ban.

[nalpaction]

Kí hiệu lại http://dientuvietnam...a_2,c=a_3,d=a_4
Giả sử http://dientuvietnam...mimetex.cgi?L(x)nghịch biến ,từ đó:
http://dientuvietnam...imetex.cgi?0,ví dụ với i=2.Nhân số hạng này với http://dientuvietnam...?a_{3}a_{4},chú ý là nên chỉ cần chỉ ra .
Bỏ đi thừa số ,ta cần chỉ ra:
,đúng do .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nalpaction: 02-08-2005 - 14:38

[tnk]

Cám ơn vì lời giải, ý tưởng của bạn là coi đó như 1 hàm 4 biến, rồi ta đạo hàm từng biến để chứng minh nó lớn hơn 0!! Tôi ko kiểm tra, nhưng tin là lời giải của bạn đúng.

Bạn có thể đưa ra 1 lời giải ko dùng đạo hàm, chỉ dùng các biến đổi thông thường được ko, tức là cả a,b,c,d cùng tham gia vào biểu thức chứ ko phải dùng 1 biến là x như thế kia???