Tổng quát IMO 1988
#1
Đã gửi 30-01-2011 - 08:22
CMR $(k = \dfrac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1} \in \mathbb{N}) \Rightarrow \exists c \in \mathbb{N} \; (k = c^n)$
#2
Đã gửi 07-04-2011 - 11:41
Nhân tiện, anh nêu luôn đề của IMO 1988 của bai toán tổng quát này với! Cảm ơn anh nhiều
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 15-04-2011 - 10:12
Nhân tiện, anh nêu luôn đề của IMO 1988 của bai toán tổng quát này với! Cảm ơn anh nhiều
Đề như này bạn :
Cho $\ a,b $ là 2 số nguyên dương sao cho $\ (a^2+b^2) \vdots (ab+1) $
Hãy chỉ ra rằng : $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1} $ là 1 số chính phương .
Xăng có thể cạn, lốp có thể mòn..xong số máy số khung thì không bao giờ thay đổi
NGUYỄN ANH TUẤN - CHỦ TỊCH HIỆP HỘI
#4
Đã gửi 10-06-2011 - 09:34
CMR $(k = \dfrac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1} \in \mathbb{N}) \Rightarrow \exists c \in \mathbb{N} \; (k = c^n)$
[/quote]
Có thể làm như sau:
Khi $ a = b, \; k=\dfrac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}} \in \mathbb{N}^+ \Rightarrow a=b=k=1^n$
Giả sử rằng pt có nghiệm, do tính chất đối xứng của $a,b$ ta giả sử rằng $a<b$.
Ta có:
$k = \dfrac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}$
$\Leftrightarrow a^n-k=(ka^{n-1}-b)b^{n-1}$
1.1 Nếu $k > a^n\Rightarrow k > k-a^n = b^{n-1} (b-ka^{n-1}) \ge b^{n-1}$
Do đó có:
$b > ka^{n-1} \ge k > b^{n-1}$
Mâu thuẫn!
1.2 Nếu $k < a^n\Rightarrow ka^{n-1}-b = \dfrac{a^n-k}{b^{n-1}}}<\dfrac{a^n}{a^{n-1}}=a $
$\Rightarrow ka^{n-1} < a+b$
$\Leftrightarrow (k-1)a^{n-1} < a+b - a^{n-1} \le b$
Do đó:
$ \forall k > 1 \Rightarrow a^{n-1} \le (k-1)a^{n-1} < b $
$ \Rightarrow a^n-k = (ka^{n-1}-b)b^{n-1} \ge b^{n-1} > \ge a^n$
Mâu thuẫn!
Vậy suy ra: $k=1^n$.
1.3 Nếu: $k = a^n$ dễ thấy dpcm!
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh