Chủ đề này có 8 trả lời

[Lê Xuân Trường Giang]

Cho
$\left\{ \begin{array}{l}x,y,z > 0 \\ x + y + z \le \dfrac{3}{2} \\ \end{array} \right.CMR:P = x + y + z + 4\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \ge \dfrac{{51}}{2}$

Và đừng quên theo nhiều cách vì bài này dễ mà..........hihiiiiiii

[dark templar]

Cho
$\left\{ \begin{array}{l}x,y,z > 0 \\ x + y + z \le \dfrac{3}{2} \\ \end{array} \right.CMR:P = x + y + z + 4\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \ge \dfrac{{51}}{2}$

Và đừng quên theo nhiều cách vì bài này dễ mà..........hihiiiiiii

Cân bằng hệ số Cauchy thôi mà!
Ta có:
$P = \left( {x + \dfrac{1}{{4x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{1}{{4y}}} \right) + \left( {z + \dfrac{1}{{4z}}} \right) + \dfrac{{15}}{4}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) $
$\ge 1 + 1 + 1 + \dfrac{{15}}{4}.\dfrac{9}{{x + y + z}} \ge 3 + \dfrac{{15}}{4}.\dfrac{{18}}{3} = \dfrac{{51}}{2}\left( {dpcm - AM - GM + Cauchy - Schwarz} \right) $
$\Rightarrow Q.E.D$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$

[Lê Xuân Trường Giang]

Cân bằng hệ số Cauchy thôi mà!
Ta có:
$P = \left( {x + \dfrac{1}{{4x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{1}{{4y}}} \right) + \left( {z + \dfrac{1}{{4z}}} \right) + \dfrac{{15}}{4}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) $
$\ge 1 + 1 + 1 + \dfrac{{15}}{4}.\dfrac{9}{{x + y + z}} \ge 3 + \dfrac{{15}}{4}.\dfrac{{18}}{3} = \dfrac{{51}}{2}\left( {dpcm - AM - GM + Cauchy - Schwarz} \right) $
$\Rightarrow Q.E.D$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$

Mới có 1 cách thôi zô đây làm tiếp đi anh, chị, em................
Cách khác đâu?

[3T-29]

1 cách tương tương như cách của anh darktemplar( là 1 cách cả)
$P=16(x+y+z)+4(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})-15(x+y+z)$
$16(x+y+z)+4.(\dfrac{9}{x+y+z})-15(x+y+z)$
$2\sqrt{16.36}-15.\dfrac{3}{2}$
$= \dfrac{51}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 3T-29: 30-01-2011 - 21:29

[Elym4ever]

thêm 1 bài góp vui nè
Cho $ a,b,c \geq 0$ thoả mãn $ a^{2}+ b^{2}+ c^{2} =1 $
CM: $ \dfrac{1}{1-ab} + \dfrac{1}{1-bc}+ \dfrac{1}{1-ca} \leq \dfrac{9}{2} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Elym4ever: 01-02-2011 - 11:44

[dark templar]

thêm 1 bài góp vui nè
Cho $ a,b,c \geq 0$ thoả mãn $ a^{2}+ b^{2}+ c^{2} =1 $
CM: $ \dfrac{1}{1-ab} + \dfrac{1}{1-bc}+ \dfrac{1}{1-ca} \leq \dfrac{9}{2} $

VP phải là 9/2 chứ bạn !Mà bài này cũ rồi ,hình như có trên THTT,xài p,q,r thôi !
Đặt $p = a + b + c;q = ab + bc + ca;r = abc $
$\Rightarrow p \in \left[ {0;\sqrt 3 } \right];q \in \left[ {0;1} \right];r \in \left[ {0;\dfrac{1}{{3\sqrt 3 }}} \right] $
$\sum {\dfrac{1}{{1 - ab}}} \le \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow 3 + 7pr - 9r^2 - 5q \ge 0 $
$r \ge \max \left\{ {0;\dfrac{{2pq - p}}{9}} \right\} $
$\bullet p \in \left[ {0;\sqrt 2 } \right] \Rightarrow r \ge 0 \Rightarrow VT \ge 3 - 9r^2 - 5q \ge \dfrac{5}{2} + 3 - 9r^2 > 0 $
$\bullet p \in \left( {\sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right] \Rightarrow r \ge \dfrac{{2pq - p}}{9} $
$\Rightarrow VT \ge 3 + \dfrac{{7p^2 \left( {2q - 1} \right)}}{9} - 9r^2 - 5q $
$= \dfrac{{\left( {3 - 81r^2 } \right) + 24 + 7\left( {4q^2 - 1} \right) - 45q}}{9} \ge \dfrac{{\left( {28q - 17} \right)\left( {q - 1} \right)}}{9} \ge 0 $
$\Rightarrow Q.E.D $
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-02-2011 - 09:52

[khanh3570883]

tặng anh em bài này:
Cho $ \left\{\begin{array}{l}x,y>0\\(x+y)xy=x^2+y^2-xy\end{array}\right. $
Tìm max của $A=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}$

[khacduongpro_165]

tặng anh em bài này:
Cho $ \left\{\begin{array}{l}x,y>0\\(x+y)xy=x^2+y^2-xy\end{array}\right. $
Tìm max của $A=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}$

Đề thi ĐH năm 2006 thì phải, có nhiều cách lắm!

[dark templar]

tặng anh em bài này:
Cho $ \left\{\begin{array}{l}x,y>0\\(x+y)xy=x^2+y^2-xy\end{array}\right. $
Tìm max của $A=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}$

click here Bài này không nhất thiết phải cho $x,y>0$ đâu bạn !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-02-2011 - 10:03