Chủ đề này có 6 trả lời

[I'm a bow & a canner]

Bài tết em nghĩ mãi không ra , mà bài năm cũ không nên để sang năm mới nên ai biết thì làm hộ em _ _"

$u_1 = u_2 = 1$
$u_n = \dfrac{u_{n-1}^2+2}{u_{n-2}}$


Chứng minh mọi số hạng của dãy số đều là số nguyên

P/s: em đã mò ra công thức truy hồi là: $u_n + u_{n-2}= 4u_{n-1}$


nhưng biến đổi thế nào từ đề bài -> công thức truy hồi thì ... _ _"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 29-12-2011 - 17:22
$\LaTeX$ fixed

[dark templar]

Bài tết em nghĩ mãi không ra , mà bài năm cũ không nên để sang năm mới nên ai biết thì làm hộ em _ _"


$u_1 = u_2 = 1$
$u_n = \dfrac{u_{n-1}^2+2}{u_{n-2}}$

Chứng minh mọi số hạng của dãy số đều là số nguyên

P/s: em đã mò ra công thức truy hồi là: $u_n + u_{n-2}= 4u_{n-1}$

nhưng biến đổi thế nào từ đề bài -> công thức truy hồi thì ... _ _"

Xài qui nạp đó bạn !
Còn muốn chứng minh dãy nguyên thì xài sai phân bậc 2 ->tìm được shtq rồi quy nạp tiếp là xong !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 29-12-2011 - 17:23
$\LaTeX$ fixed

[Giang1994]

Bài tết em nghĩ mãi không ra , mà bài năm cũ không nên để sang năm mới nên ai biết thì làm hộ em _ _"


$u_1 = u_2 = 1$
$u_n = \dfrac{u_{n-1}^2+2}{u_{n-2}}$

Chứng minh mọi số hạng của dãy số đều là số nguyên

P/s: em đã mò ra công thức truy hồi là: $u_n + u_{n-2}= 4u_{n-1}$

nhưng biến đổi thế nào từ đề bài -> công thức truy hồi thì ... _ _"

mò ra rồi thì chứng minh luôn bằng quy nạp xem được không bạn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 29-12-2011 - 17:25
$\LaTeX$ fixed

[I'm a bow & a canner]

Xài qui nạp đó bạn !
Còn muốn chứng minh dãy nguyên thì xài sai phân bậc 2 ->tìm được shtq rồi quy nạp tiếp là xong !

chỉ dùng khi có công thức số hạng tổng quát thôi mà? chỉ có công thức truy hồi sao dùng được nhỉ? _ _"

[dark templar]

chỉ dùng khi có công thức số hạng tổng quát thôi mà? chỉ có công thức truy hồi sao dùng được nhỉ? _ _"

Ý mình là quy nạp cho cái công thức truy hồi đấy !
Thôi để mình trình bày ra luôn vậy !
Giả sử cộng thức truy hồi trên đúng với $n=k(k \in N^*)$
Tức là ta có $u_k = 4u_{k - 1} - u_{k - 2} = \dfrac{{u_{k - 1}^2 + 2}}{{u_{k - 2} }} \Rightarrow u_{k - 1}^2 + 2 = 4u_{k - 2} u_{k - 1} - u_{k - 2}^2 (1)$
Giờ ta sẽ chứng minh công thức cũng đúng với $n=k+1$
Hay $u_{k + 1} = 4u_k - u_{k - 1} = \dfrac{{u_k^2 + 2}}{{u_{k - 1} }} \Leftrightarrow u_k^2 + 2 = 4u_{k - 1} u_k - u_{k - 1}^2 \left( 2 \right)$
Lấy (2) trừ đi (1),ta có :
$u_k^2 - u_{k - 1}^2 = 4u_{k - 1} \left( {u_k - u_{k - 2} } \right) - u_{k - 1}^2 + u_{k - 2}^2 $
$\Leftrightarrow u_k + u_{k - 2} = 4u_{k - 1} \left( {True - u_k \ne u_{k - 2} } \right) $
$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-02-2011 - 20:31

[I'm a bow & a canner]

À, quy nạp kiểu đấy thì tớ làm được rồi nhưng tớ muốn làm theo kiểu ông thầy (vì ông ấy cho một bài mẫu rồi bảo về làm tương tự mà)

Post bài mẫu cho các bạn tham khảo (phải nói là rất thâm và độc )

Đề bài:

$u_1 = 0$
$u_{n+1} = 5u_n + \sqrt{24u_n^2 + 1}$

__bài giải____

$u_{n+1} = 5u_n + \sqrt{24u_n^2 + 1}$
chuyển vế $5u_n$, bình phương mất căn

$\Leftrightarrow u_{n+1}^2 - 10u_nu_{n+1} + u_n^2 -1 = 0$ (1)

thay $n = n-1$
$\Rightarrow u_{n-1}^2 - 10u_nu_{n-1} + u_n^2 -1 = 0$ (2)

từ (1) và (2) có $u_{n-1} ;\; u_{n+1} $ là nghiệm của phương trình bậc hai sau

$x^2 - 10xu_n + u_n^2 -1 = 0$

vì phương trình luôn có nghiệm do delta > 0 với mọi x

Nên theo vi-et có, $u_{n+1} + u_{n-1} = 10u_n$

____________

Quá sức tưởng tượng _ _"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 29-12-2011 - 17:32
$\LaTeX$ fixed

[dark templar]

À, quy nạp kiểu đấy thì tớ làm được rồi nhưng tớ muốn làm theo kiểu ông thầy (vì ông ấy cho một bài mẫu rồi bảo về làm tương tự mà)

Post bài mẫu cho các bạn tham khảo (phải nói là rất thâm và độc )

Đề bài:

$u_1 = 0$
$u_{n+1} = 5u_n + \sqrt{24u_n^2 + 1}$

__bài giải____

$u_{n+1} = 5u_n + \sqrt{24u_n^2 + 1}$
chuyển vế $5u_n$, bình phương mất căn

$\Leftrightarrow u_{n+1}^2 - 10u_nu_{n+1} + u_n^2 -1 = 0$ (1)

thay $n = n-1$
$\Rightarrow u_{n-1}^2 - 10u_nu_{n-1} + u_n^2 -1 = 0$ (2)

từ (1) và (2) có $u_{n-1} ;\; u_{n+1} $ là nghiệm của phương trình bậc hai sau

$x^2 - 10xu_n + u_n^2 -1 = 0$

vì phương trình luôn có nghiệm do delta > 0 với mọi x

Nên theo vi-et có, $u_{n+1} + u_{n-1} = 10u_n$

____________

Quá sức tưởng tượng _ _"

Àh pp này mình cũng đã từng biết rồi !Nó gọi là quy nạp kiểu phi tuyến ấy !pp này cũng tùy bài mới làm được thôi !nếu bạn chỉ tìm ra công thức truy hồi mà ko quy nạp Toán học đc thì cũng bó tay thôi !
Chẳng hạn như bài này ,cũng na ná giống bài trên:
Cho $\left\{ {u_n } \right\}:\left\{ \begin{array}{l}u_0 = u_1 = 1 \\ u_{n + 1} = \dfrac{{u_n^2 + 1}}{{u_{n - 1} }}\left( {n \in N} \right) \\ \end{array} \right.$
Chứng minh dãy trên là dãy nguyên với mọi n

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 29-12-2011 - 17:31
$\LaTeX$ fixed