Chủ đề này có 5 trả lời

[dark templar]

Hãy tìm số $c \in N^*$ thỏa mãn hệ sau:$\left\{ \begin{array}{l}a,b \in N^* ;a > 1 \\ 2^a = b^c + 1 \\ \end{array} \right.$

[tuan101293]

Hãy tìm số $c \in N^*$ thỏa mãn hệ sau:$\left\{ \begin{array}{l}a,b \in N^* ;a > 1 \\ 2^a = b^c + 1 \\ \end{array} \right.$

dễ thấy b lẻ nên c lẻ
suy ra
$b^c+1=(b+1)(b^{c-1}-b^{c-2}+....-b+1)=2^a$
mà $b^{c-1}-b^{c-2}+....-b+1$ là lẻ nên
$b^{c-1}-b^{c-2}+....-b+1=1$ nên b=1 hoặc c=1
suy ra c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 06-02-2011 - 17:31
Tò nhâm

[dark templar]

dễ thấy b lẻ nên c lẻ
suy ra
$b^c+1=(b+1)(b^{c-1}-b^{c-2}+....-b+1)=2^a$
mà $b^{c-1}-b^{c-2}+....-b+1$ là lẻ nên
$b^{c-1}-b^{c-2}+....-b+1=1$ nên b=1
suy ra a=1
vô lý
đề có vấn đề à???

Đề ko sai đâu anh Tuấn !Bạn nó ghi cho em mà ? Nó bảo bài này là IMO (ko nhớ năm )
P/s:Để về em coi lại đề xem sao

[Giang1994]

Hãy tìm số $c \in N^*$ thỏa mãn hệ sau:$\left\{ \begin{array}{l}a,b \in N^* ;a > 1 \\ 2^a = b^c + 1 \\ \end{array} \right.$

mình làm thế này được không
khi c=1 thì bộ $(a,b,c)=(a,2^{a}-1,1)$
khi c>1 dễ thấy khi này $c \geq 2$, c lẻ và $b \geq 3$ ,b lẻ
ta có $ 2^{a} =(b+1)(1-b+ b^{2} - b^{3} + ... + (-1)^{c-1} b^{c-1})$
vậy nên cả $ b+1$ và $(1-b+ b^{2} - b^{3} + ... + (-1)^{c-1} b^{c-1})$ đều là lũy thừa của 2
hơn nữa $b+1< b^{2}-b+1< (1-b+ b^{2} - b^{3} + ... + (-1)^{c-1} b^{c-1})$
nên b+1 là một ước số của $(1-b+ b^{2} - b^{3} + ... + (-1)^{c-1} b^{c-1})$
do đó $0 \equiv (1-b+ b^{2} - b^{3} + ... + (-1)^{c-1} b^{c-1}) \equiv c (mod (b+1))$
$ \Rightarrow c \vdots(b+1)$ nên $c \vdots 2$ (vô lý)
vậy chỉ có một bộ số tm tương ứng khi c=1

[Giang1994]

bài này tương tự bài ( Italy 1999)
tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x,k,n) thỏa mãn
$ 3^{k} -1= x^{n} $

[nguyenta98]

bài này tương tự bài ( Italy 1999)
tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x,k,n) thỏa mãn
$ 3^{k} -1= x^{n} $

Giải như sau:
TH1: $n$ chẵn, ta có $3^k=x^n+1$ suy ra $gcd(x,3)=1 \Rightarrow x^n+1 \equiv 2 \pmod{3}$ (vì $n$ chẵn) suy ra vô lí
TH2: $n$ lẻ ta có $3^k=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+...+x^2-x+1)$
Suy ra $x+1=3^a,x^{n-1}-x^{n-2}+...+x^2-x+1=3^b$ với $a+b=k$
Thay $x \equiv 2 \pmod{3}$ khi ấy $x^{n-1}-x^{n-2}+...+x^2-x+1 \equiv 2^{n-1}-2^{n-2}+..+2^2-2+1=2^{n-2}+...+2+1 \equiv 2(\dfrac{n-1}{2})+1=n \Rightarrow n \vdots 3$ nên $n=3t$
Khi ấy $3^k-1=(x^t)^3 \Rightarrow 3^k=u^3+1=(u+1)(u^2-u+1)$ nếu $u+1=1$ thì $u=0$ khi ấy loại do $x>0$ còn $U>0$ thì $u+1=3^m$ với $m>1$ khi ấy $u^2-u+1 \vdots 3$ mà $\not \vdots 9$ suy ra $u+1=3^{k-1},u^2-u+1=3 \Rightarrow u^2-u=2 \Rightarrow u=2$
Vậy suy ra $n=1 \Rightarrow x=3^k-1$ với $k$ nguyên dương tùy ý hoặc $k=2,n=3,x=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 11-11-2012 - 15:19