Chủ đề này có 4 trả lời

[uk.em_rat_ngoc]

Bài 1
Cho tứ giác ABCD có A = 900 ; B = 600 ; C = 1500 ; AD = 12cm. BC là cạnh hình vuông có diện tích 108cm2. M là một điểm ở miền trong của tứ giác sao cho MBCD là hình bình hành.
a/ Chứng minh MD ; MB lần lượt là phân giác của CDA và CBA.
b/ Gọi MH là đường cao của tam giác AMD. Chứng minh tam giác AMD vuông tại M và tam giác AMB cân tại M.
c/ Gọi N là giao điểm của BM và AD. Chứng minh N là trung điểm của AD,
ABN = MDA và ABC là tam giác đều.
Bài 2
Cho hình vuông ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Gọi I là giao điểm của CM và DN. Chứng minh AI = AD.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Câu 1 :
a, Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360 độ nên => $ \widehat{D} = 60^o $
Do DCBM là hình bình hành , $ \widehat{C} = 150^o => \widehat{MDC} = 30 ^o => \widehat{ADM} = 30^o $ => DM là phân giác của $ \widehat{ADC} $
Chứng minh tương tự với BM .
b,
Dễ dàng tính được : $ BC = DM = \sqrt{108} = 6.\sqrt{3} $
Xét tam giác vuông DHM có góc D = 30 độ , cạnh huyền $ DM = 6\sqrt{3} $
=> $ MH = 3\sqrt{3}$ ( cạnh đối diện với góc 30 độ )
=> $ DH = \sqrt{ DM^2 - HM^2 } = 9 $
Xét hai tam giác DHM và DMA có :
- $ \widehat{D} $ chung
- $ \dfrac{DH}{DM} = \dfrac{DM}{DA} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
=> $ \triangle DHM \approx \triangle DMA $ ( c.g.c )
=> Tam giác DMA vuông tại M .
Kéo dài DM , DM cắt AB tại F . Do $ MH \perp AD ; FA \perp AD => MH // FA $
Dễ thấy : $ \widehat{AFM} = 60^o $ . Do AFM là tam giác vuông ( tại M ) theo chứng minh ở trên => $ \widehat{MAF} = 30^o $
Mặt khác ; $ \widehat{MBF} = 30^o $ ( theo câu a )
=> $ \widehat{MAF} = \widehat{MBF} $ .
Vậy , tam giác AMB cân tại M
c, Dễ thấy : Tam giác ANB vuông tại A => $ \widehat{ANB} = 60^o $
Lại có $ \widehat{DAM} = 60^o $ ( theo chứng minh ở câu b ) => Tam giác AMN là tam giác đều => AM = AN = MN .
Ta lại có , theo câu b , tam giác DMA vuông tại M có $ \widehat{AMN} = 60^o => \widehat{DMN} = 30^o$ . Hơn nữa $ \widehat{ADM} = 30^o $
=> Tam giác DMN cân => DN = MN
=> DN = AN hay N là trung điểm AD .

[hoa_giot_tuyet]

Cho hình vuông ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Gọi I là giao điểm của CM và DN. Chứng minh AI = AD.

Hình như bài nỳ trong SBT thì fải
Gọi E là trung điểm CD. Do hình vuông ABCD có M,N là trung điểm AB,BC AM=CE và AM // CE AMCE là hình bình hành do đó AE//MC (1)
Dễ dàng c/m BMC = CND (c.g.c) CM = DN và $\widehat{BMC} = \widehat{CND}$
Mà $\widehat{BMC} + \widehat{BCM} = 90^o $ $\widehat{CND} + \widehat{BCM} = 90^o$
Do đó $\widehat{CIN} = 90^o$ CM DN (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE DN
Gọi AE cắt DN tại F ta có AF DN
Xét DIC có DE = CE và EF // CI nên DF = FI
Xét ADI có AF DI và DF = FI ADI cân tại A (AF vừa đường cao vừa trung tuyến)
AD = AI

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoa_giot_tuyet: 06-02-2011 - 15:54

[perfectstrong]

Bài 2
Cho hình vuông ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Gọi I là giao điểm của CM và DN. Chứng minh AI = AD.

Vẽ CM kéo dài cắt đường thẳng AD tại E.
MBC= NDC góc MCB=góc CDN góc CNI+góc ICN=góc CDN+góc CNI=90 độ góc CIN=90 độ
EID vuông tại I.
AME= BMC EA=BC=AD A là trung điểm của ED. IA là trung tuyến ứng cạnh huyền của EID vuông tại I. đpcm.

[perfectstrong]

Hình như bài nỳ trong SBT thì fải
Gọi E là trung điểm CD. Do hình vuông ABCD có M,N là trung điểm AB,BC AM=CE và AM // CE AMCE là hình bình hành do đó AE//MC (1)
Dễ dàng c/m BMC = CND (c.g.c) CM = DN và $\widehat{BMC} = \widehat{CND}$
Mà $\widehat{BMC} + \widehat{BCM} = 90^o $ $\widehat{CND} + \widehat{BCM} = 90^o$
Do đó $\widehat{CIN} = 90^o$ CM DN (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE DN
Gọi AE cắt DN tại F ta có AF DN
Xét DIC có DE = CE và EF // CI nên DF = FI
Xét ADI có AF DI và DF = FI ADI cân tại A (AF vừa đường cao vừa trung tuyến)
AD = AI

bài 2 này thực chất xuất phát từ một bài toán đường tròn nhưng đã xóa đi đường tròn. Nên nếu nhìn nhận theo quan điểm của đường tròn ("lỡ tay" kéo dài CM) thì sẽ giải quyết nhanh gọn hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 06-02-2011 - 16:12