Chủ đề này có 2 trả lời

[Ljzk]

:sqrt{1} + :sqrt{2} + :sqrt{3} +.....+ :sqrt{n} < :frac{2011 n^{2} }{4 :sqrt{2011} }

[uk.em_rat_ngoc]

$ sqrt{1} + sqrt{2} + sqrt{3} +.....+ sqrt{n} $ < $ :frac{2011 n^{2}}{4 sqrt{2011}} $

Bạn nên chuyển bài này qua bên bất đẳng thức và cực trị, chắc sẽ có nhiều người vào giúp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi uk.em_rat_ngoc: 07-02-2011 - 13:25

[perfectstrong]

Cần chứng minh $\sqrt 1 + \sqrt 2 + ... + \sqrt n < \dfrac{{2011n^2 }}{{4\sqrt {2011} }}\left( 1 \right)$
$VP\left( 1 \right) = \dfrac{{n^2 \sqrt {2011} }}{4}$
*n=1 thì (1) đúng.
*giả sử (1) đúng đến n=k, ta chứng minh (1) đúng với n=k+1(k là số nguyên dương)
Cần chứng minh $\sqrt 1 + \sqrt 2 + ... + \sqrt {k + 1} < \dfrac{{\left( {k + 1} \right)^2 \sqrt {2011} }}{4}\left( 2 \right)$

$VT\left( 2 \right) < \dfrac{{k^2 \sqrt {2011} }}{4} + \sqrt {k + 1} = \dfrac{{k^2 \sqrt {2011} + 4\sqrt {k + 1} }}{4}$
Cần chứng minh
$\begin{gathered} k^2 \sqrt {2011} + 4\sqrt {k + 1} < \left( {k + 1} \right)^2 \sqrt {2011} \hfill \\ \Leftrightarrow k^2 \sqrt {2011} + 4\sqrt {k + 1} < k^2 \sqrt {2011} + 2k\sqrt {2011} + \sqrt {2011} \hfill \\ \Leftrightarrow 4\sqrt {k + 1} < 2k\sqrt {2011} + \sqrt {2011} \hfill \\ \Leftrightarrow 16\left( {k + 1} \right) < 8044k^2 + 8044k + 2011 \hfill \\ \Leftrightarrow 8044k^2 + 8028k + 1995 > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {k + \dfrac{{2011 + 4\sqrt {2011} }}{{4022}}} \right)\left( {k + \dfrac{{2011 - 4\sqrt {2011} }}{{4022}}} \right) > 0:True \hfill \\ \end{gathered} $
Suy ra, (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.