số nguyên tố - hợp số
#1
Đã gửi 14-02-2011 - 19:45
Bài 2:
a) Gọi A là tích của 2002 số tự nhiên khác 0 đầu tiên. Ta chia A lần lượt cho 1;2;3;.....;2002 được các thương tương ứng là $A_{1}$ ; $A_{2}$ ; ....; $A_{2002}$ . Chứng minh rằng tổng ( $A_{1}$ + $A_{2}$ +........+ $A_{2002}$ ) Chia hết cho 2003.
b) Cho n là số tự nhiên khác 0 và p sà số nguyên tố lớn hơn 3. Chúng minh rằng trong hai số ( $p^{n}$ + 1) và ( 2$p^{n}$ + 1) có ít nhất một số là hợp số.
( Thi HSG Toán TP. HN 2002)
Bài 3:
a) Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp rồi cộng với 1 luôn là số chính phương.
b) Tim tất cả các số tự nhiên a và b thỏa mãn A = $a^{4}$ + $b^{4}$ là số nguyên tố.
( THi HSG Toán TP. HN .V1 1998)
Bài 4: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n có n số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào trong n số đó là lũy thừ nguyên của một số nguyên tố
( thi vô địch toán quốc tế -1998 )
Bài 5: Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn ab = cd.Chứng minh số A = $a^{n}$ + $b^{n}$ + $c^{n}$ + $d^{n}$ là hợp số với mọi n nguyên dương.
Bài 6: cho số tự nhiên n > 1 và n không chia hết cho 3. Chứng minh rằng số A= $ 3^{2n}$ + $3_{n}$ + 1 là hợp số.
Bài 7: Tìm 7 số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng tổng các lũy thừ bậc 6 của 7 sô đó
ISAAC NEWTON
#2
Đã gửi 14-02-2011 - 21:32
Bài 3a có phải là $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=\left(n^2+3n+1\right)^2$ không?
Bài 1 có phải là
$a^2+5a-k^2=0$ có $\Delta=25+4k^2=m^2 \Leftrightarrow (m-2k)(m+2k)=1.25\\ \Rightarrow k^2=36\Rightarrow a^2+5a-36=0\Rightarrow a=4,\;\;or\;\;a=-9$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 14-02-2011 - 21:35
#3
Đã gửi 14-02-2011 - 21:36
bài này là bài mấy trong đề thi vậy bạn ( có phải bài 3 ko nhỉ)Bài 4: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n có n số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào trong n số đó là lũy thừ nguyên của một số nguyên tố
( thi vô địch toán quốc tế -1998 )
#4
Đã gửi 14-02-2011 - 21:38
Bài 6 có phải là CMR $a^{2n}+a^n+1\;\;\vdots a^2+a+1$ không?
Bài 3a có phải là $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=\left(n^2+3n+1\right)^2$ không?
Bài 1 có phải là
$a^2+5a-k^2=0$ có $\Delta=25+4k^2=m^2 \Leftrightarrow (m-2k)(m+2k)=1.25\\ \Rightarrow k^2=36\Rightarrow a^2+5a-36=0\Rightarrow a=4,\;\;or\;\;a=-9$
cảm ơn nhé!! thanks bạn phát!! Còn xem hộ mình được bài nào nữa ko??
ISAAC NEWTON
#5
Đã gửi 14-02-2011 - 21:54
Thầy giáo cho mình bài này, thầy đề cuối bài trích từ đề ấy:) nhưng kỳ thực tớ xem đề thi năm 1998 thì có vẻ ko giống lắm Cũng có thể thầy thay đổi đề đi chút ítbài này là bài mấy trong đề thi vậy bạn ( có phải bài 3 ko nhỉ)
ISAAC NEWTON
#6
Đã gửi 14-02-2011 - 22:19
ISAAC NEWTON
#7
Đã gửi 15-02-2011 - 14:35
không thể bạn ạ. Phải chứng minh đấy.à! Cho mình hỏi một câu!! Khi làm bài tập mà xuất hiện bộ số py-ta-go, ta biết bộ số có dạng : 5^2 + (2a)^2 = b^2 ( với a,b là số tự nhiên ) liệu ta có nên trả lời luôn rằng áp dụng bộ số py-ta-go => a=6; b=13 được không??
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#8
Đã gửi 17-02-2011 - 12:36
bài này:Bài 7: Tìm 7 số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng tổng các lũy thừ bậc 6 của 7 sô đó
goi. 7 số nguyên tố cần tìm là:$p_1;p_2;...;p_7$.ta có:
$p_1.p_2...p_7=p_1^{6} + p_2^{6} +...+p_7^{6} $
ta sẽ CM định lí fecma nhỏ :
Nếu số nguyên a ko chia hết cho 7 thì $a^{6} \equiv 1(mod 7)$
ta chứng minh bằng cách biến đổi :$a^3 = (7k+r)^3 = 7t +1 or 7t-1$ với $0 \leq k \leq 7$
Nếu k=0 thì cả 7 số trên đều bằng 7.Thỏa mãn.
Nếu k=7 thì cả 7 số trên đều là các số nguyên tố khác 7 còn VP của chia hết cho k theo định lí fecma.
Nếu $0 \leq k \leq 6$ thì $7-k \geq 1$ số 7 nên VT của chia hết cho 7 còn VP của chia cho 7 dư $k \geq 1$ theo định lí fecma, vô lí!
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
#9
Đã gửi 18-02-2011 - 19:46
Gọi UCLN(a;c)=k, ta có:Bài 5: Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn ab = cd.Chứng minh số A = $a^{n}$ + $b^{n}$ + $c^{n}$ + $d^{n}$ là hợp số với mọi n nguyên dương.
$a=ka_1,c=kc_1$ với $(a_1;c_1)=1$
Thay vào $ab=cd$ được:
$ka_1b=kc_1b \Rightarrow a_1b=c_1b(1)$
Ta có: $a_1b|c_1$ mà $(a_1;c_1)=1 \Rightarrow b=c_1m(m \in N^{*}) $
thay vào (1) : $a_1c_1m=c_1d \Rightarrow a_1m=d $
$ \Rightarrow A = a^n + b^n + c^2 +d^2 = k^na_1^{n} +mk^nc_1^{n} + k^nc_1^{n} + m^na_1^{n} $
$ = (a_1^{n}+ c_1^{n})(k^n+m^n)$ là hợp số!
- Nhungmai yêu thích
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
#10
Đã gửi 20-02-2011 - 19:37
cho mình hỏi số 0 có phải là số hữu tỉ ko?Bài 6 có phải là CMR $a^{2n}+a^n+1\;\;\vdots a^2+a+1$ không?
Bài 3a có phải là $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=\left(n^2+3n+1\right)^2$ không?
Bài 1 có phải là
$a^2+5a-k^2=0$ có $\Delta=25+4k^2=m^2 \Leftrightarrow (m-2k)(m+2k)=1.25\\ \Rightarrow k^2=36\Rightarrow a^2+5a-36=0\Rightarrow a=4,\;\;or\;\;a=-9$
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa
#11
Đã gửi 20-02-2011 - 21:57
bài này mình đã được thầy giáo chữa hôm qua cách làm khác với bạn hxthanh nên sẽ có 4 giá trị:cho mình hỏi số 0 có phải là số hữu tỉ ko?
a là số nguyên tố => a= m:n => $ a^{2} $ +5a =( $ m^{2} $ + 5mn ) : $ n^{2} $
Để $ a^{2} $ + 5a $ N $ => m $ $ n => (m;n) = 1 => a $ Z $ ( a $ $ -5 hoặc a $ $ 0)
$ a^{2} $ + 5a = $ k^{2} $ ( k $ $ $ Z^{+} $)
=> 4$ a^{2} $ + 20a + 25 = 4$ k^{2} $+ 25
=> $ ( 2a + 5)^{2} $ - $ 2k^{2} $ = 25
=> (2a + 5 - 2k)(2a+5 + 2k)=1.25=-1.-25=5.5=-5.-5
Do 2k $ $ $ Z^{+} $
=> 2a-2k+5 $ $ 2k+2a+5
chia trường hợp => a={-9;4;0;-5}
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zzz.chelsea.zzz: 21-02-2011 - 16:29
ISAAC NEWTON
#12
Đã gửi 22-02-2011 - 19:45
b) Cho n là số tự nhiên khác 0 và p sà số nguyên tố lớn hơn 3. Chúng minh rằng trong hai số ( $p^{n}$ + 1) và ( 2$p^{n}$ + 1) có ít nhất một số là hợp số.
( Thi HSG Toán TP. HN 2002)[/quote]
do p sà số nguyên tố lớn hơn 3 nên p=6k+1 hoặc p=6k-1
nếu p=6k+1 thì 2$p^{n} + 1 = [2(6k+1)^n+1 \vdots 3$
nếu p=6k-1 thì $p^{n}+ 1=(6k-1)^n+1 \vdots 6$
[quote name='zzz.chelsea.zzz' post='253234' date='Feb 14 2011, 08:45 PM']b) Tim tất cả các số tự nhiên a và b thỏa mãn A = $a^{4}$ + $b^{4}$ là số nguyên tố.
( THi HSG Toán TP. HN .V1 1998)[/quote]
bài này bạn xem lại đề đi hay là đề!
$4a^{4}$ + $b^{4}$
Bài 4: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n có n số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào trong n số đó là lũy thừ nguyên của một số nguyên tố
( thi vô địch toán quốc tế -1998 )
[quote name='zzz.chelsea.zzz' date='Feb 14 2011, 08:45 PM' post='253234']
Bài 6: cho số tự nhiên n > 1 và n không chia hết cho 3. Chứng minh rằng số A= $ 3^{2n}$ + $3_{n}$ + 1 là hợp số.
bài này là $3_{n}$ là sao?
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
#13
Đã gửi 25-02-2011 - 19:23
Bài 2:
a) Gọi A là tích của 2002 số tự nhiên khác 0 đầu tiên. Ta chia A lần lượt cho 1;2;3;.....;2002 được các thương tương ứng là $A_{1}$ ; $A_{2}$ ; ....; $A_{2002}$ . Chứng minh rằng tổng ( $A_{1}$ + $A_{2}$ +........+ $A_{2002}$ ) Chia hết cho 2003.
b) Cho n là số tự nhiên khác 0 và p sà số nguyên tố lớn hơn 3. Chúng minh rằng trong hai số ( $p^{n}$ + 1) và ( 2$p^{n}$ + 1) có ít nhất một số là hợp số.
( Thi HSG Toán TP. HN 2002)
Bài 2:
a) ta có:
$ B= A_1 + A_2 + ... + A_2002 = \dfrac{2002!}{1} + \dfrac{2002!}{2} + ... + \dfrac{2002!}{2002}$
$2002!.( \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + ... + \dfrac{1}{2002}) = 2002!(\dfrac{2003}{1.2002} + \dfrac{2003}{2.2001} + ... + \dfrac{2003}{1001.1002} \vdots 2003$
b) do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ nên $p^{n}$ là số lẻ nên $p^{n} + 1$ là số chẵn nên $p^{n} + 1 \vdots 2 $ => ĐPCM!
nếu đề như thế này thì mình làm được!
bài 6:Bài 6: cho số tự nhiên n > 1 và n không chia hết cho 3. Chứng minh rằng số A= $ 3^{2n}$ + $3^{n}$ + 1 là hợp số.
*) với n=3k+1 thì :A= $ 3^{2n}+3^{n} + 1 = 3^{2(3k+1)} + 3^{3k+1} + 1$
$ 3^{2}.(3^{6k}-1) + 3(3^{3k}-1) + 13 \vdots 13$
*) với n=3k+2 thì : A= $ 3^{2n}+3^{n} + 1 = 3^4(3^{6k} - 1) + 3(3^{3k} - 1) + 91 \vdots 13$
=> ĐPCM!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 25-02-2011 - 19:30
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh