Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Một chút về hàm lồi và bất đẳng thức Jensen


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 21 trả lời

#1 vuhung

vuhung

    Spectrum IT

  • Thành viên
  • 266 Bài viết
  • Đến từ:Đông Kinh
  • Sở thích:Spectrum Information Theory

Đã gửi 07-01-2005 - 00:12

Một chút về hàm lồi và bất đẳng thức Jensen:

Đây là kiến thức rất hay được dùng. Đặc biệt là trong việc chứng minh những bất đẳng thức có tính chất đối xứng.

Bác admin nào cho top bài này hộ em nhé. Em sẽ post dài dài khi có thời gian

1. Định nghĩa hàm lồi (một biến): Một hàm số f được gọi là lồi trên tập K =(a,B)( hay [a,b], (a,b], [a,B), [a,b], trong đó a, b có thể là vô cùng) nếu với mọi $ x_1, x_2\in K, 0\leq \lambda \leq 1$ ta có

$ f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$
Hàm f được gọi là lồi nghiêm ngặt(?) nếu đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi $\lambda = 0$.

2. Định nghĩa: Hàm f được gọi là lõm nếu -f lồi

Ví dụ về hàm lồi: $ x^2, |x|, e^x$. Các bạn tự kiểm chứng.

3. Chứng minh rằng nếu hàm f có đạo hàm cấp II không âm( dương) mọi nơi trên K thì f lồi( nghiêm ngặt) trên K.

Mình bỏ qua chứng minh, các bạn có thể tìm lại chứng minh qua xấp xỉ Taylor sau:

$\large f(x) = f(x_0) + f'(x)(x-x_0)+\dfrac{f''(x^{*})}{2}(x-x_0)^2$

4. Bất đẳng thức Jensen: Nếu hàm f lồi trên K, thì với mọi $ x_i \in K, p_i \in [0,1], \sum_{i=0}^k p_i = 1$ ta có:

$\sum p_i f(x_i) \geq f\left(\sum p_i x_i\right)$

Có thể chứng minh quy nạp theo k.

Bất đẳng thức trên đúng với k = 2. Giả sử nó đúng với k-1. Ta chứng minh với k, bất đẳng thức cũng đúng. Đặt $\large p_i^{'} = p_i/(1-p_k)$

$\large \sum\limits_{i=1}^k p_i f(x_i) = p_k f(x_k) + (1-p_k) \sum\limits_{i=1}^{k-1}p_i^{'} f(x_i) \geq p_k f(x_k) + (1-p_k) f(\sum\limits_{i=1}^{k-1}p_i^{'}x_i) \geq f\left(p_kx_k + (1-p_k)\sum\limits_{i=1}^{k-1}p_i^{'}x_i\right) = f\left(\sum\limits_{i=1}^k p_i x_i\right)$

5. Hàm lồi 2 và nhiều biến ( đang viết)

6. Ứng dụng của bất đẳng thức Jensen( đang viết)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 17-08-2009 - 10:49

Hình đã gửi

#2 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-01-2005 - 08:35

BĐT hàm lồi đúng là khá hay nhưng cũ lắm rồi
cái cần thiết thì mới nên post
vì vậy vuhung chỉ nên gõ thêm BĐT hệ số góc nữa thôi
goodluck

#3 anhminh

anhminh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tokyo
  • Sở thích:Toán (tất nhiên!),ROCK,đá bóng

Đã gửi 07-02-2005 - 19:49

Gặp hàm hồi ,mình muốn nhắc đến BĐT KARAMATA ,có lẽ cũng là 1 BĐT có ứng dụng rất nhiều và hấp dẫn trong CM bất đẳng thức.
Cho
Xi,Yi :D (a,b).F là hàm lồi trên (a,b).
y1 :D y2>=...:D yn.
thỏa mãn:
x1:geq y1
X1+x2:geq y1+y2
...
x1+...+x(n-1):D y1+...+y(n-1).
x1+...+x(n)=y1+...+y(n).
CMR:
:D F(Xi) ;) :D F(yi).
Nhưng ..nếu thay đkiện cuối của BĐT này:DẤU = bởi dấu :D thì còn đúng không?
Tôi thực sự BUỒN vì thua kém về TƯ DUY...Nhưng tôi sẽ KHÔNG BAO GIỜ ĐỨNG YÊN chấp nhận sự thất bại ấy.
Vào đi các bạn ơi!

#4 TieuSonTrangSi

TieuSonTrangSi

    Thiếu úy

  • Founder
  • 526 Bài viết
  • Đến từ:Paris

Đã gửi 08-02-2005 - 03:14

Giờ em cho top rồi đấy, anh vuhung viết tiếp đi chứ :P

2TS cũng đã chỉnh lại phần LaTeX rồi, bạn vuhung chỉ còn cách... viết tiếp thôi :lol:

Bất đẳng thức Karamata cũng đã được bạn ấy đưa ra tại đây (without proof)
Chí lớn trong thiên hạ không đựng đầy đôi mắt của giai nhân

#5 QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-03-2005 - 22:02

Bạn cụ thể xem dấu đẳng thức trong BĐT Jensen xảy ra khi nào nữa nhé!
1728

#6 mathking

mathking

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 09-03-2005 - 13:05

dấu = xảy ra khi và chỉ khi Xi=Xj với i:neq j

#7 mathking

mathking

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 09-03-2005 - 13:31

không thể thay được. không tin thì dùng hàm sinx hoặc cos x và xế cho vài bộ số đơn giản dễ thấy bđt ở trên không còn đ1ung . Ở đây 2 bộ số trên gọi là trội so với nhâunen không thể thay như vậy.

#8 voich

voich

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

Đã gửi 17-03-2005 - 16:27

BĐT Jensen mình nghĩ còn có thể khái quát được đấy VH thử xem sao!Chúc thành công

#9 phamvantruong

phamvantruong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Đến từ:BAC GIANG
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 30-05-2005 - 16:59

Dạng tổng quát của nó như sau:f(x)là hàm lồi thì có bđt:

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamvantruong: 30-05-2005 - 17:03


#10 song_ha

song_ha

    Sống là chiến đấu

  • Pre-Member
  • 321 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VIỆT_NAM
  • Sở thích: dạy con học toán<br> làm toán<br> AC MILAN

Đã gửi 31-05-2005 - 09:40

[quote name='phamvantruong' date='May 30 2005, 04:59 PM'] Dạng tổng quát của nó như sau:f(x)là hàm lồi thì có bđt:

http://dientuvietnam...metex.cgi?f_i(x): là các hàm lồi (cả cận trên và cận dưới)
Song_ha đã có được 2 kết quả nhỏ với hàm lồi khả vi 2 lần...
<span style='color:red'>...Này sông cứ chảy như ngày ấy
Có người đi quên mất lối về.....</span>

#11 monkey

monkey

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Đến từ:H.U.T
  • Sở thích:Nothing or Everything! =))

Đã gửi 14-07-2005 - 10:05

Em vẫn ko hiểu lắm về BDT hàm lồi ? Liệu khi giải toán có dc áp dụng ko?Chứ nếu phải CM như bổ đề thì....
Bác nào có VD về khả năng ứng dụng của BDT này ko?Chỉ em với?
Time is valuable thing..

#12 chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Darmstadt - Germany
  • Sở thích:Guitar, Bóng đá

Đã gửi 14-07-2005 - 18:25

BĐT này thường chỉ áp dụng cho các kỳ thi HSG thôi. Thi ĐH thì không được dùng và cũng không cần dùng!! :)
The only way to learn mathematics is to do mathematics

#13 phamvantruong

phamvantruong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Đến từ:BAC GIANG
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 31-07-2005 - 17:23

songha có thể nói rõ hơn được không?

#14 song_ha

song_ha

    Sống là chiến đấu

  • Pre-Member
  • 321 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VIỆT_NAM
  • Sở thích: dạy con học toán&lt;br&gt; làm toán&lt;br&gt; AC MILAN

Đã gửi 02-08-2005 - 15:24

songha có thể nói rõ hơn được không?

Bạn xem thử BĐT với hàm lõm 2 lần khả vi của mình
<span style='color:red'>...Này sông cứ chảy như ngày ấy
Có người đi quên mất lối về.....</span>

#15 mksa

mksa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-08-2005 - 22:22

Nghe người ta nói: Nếu nhìn các bất đẳng thức ở phổ thông dưới góc đô hàm lồi thì có thể giải quyết nhanh chóng.Chẳng hạn như: Để ch.m bđt Cauchy thì xét hàm: y= lnx; để ch.m bđt Bunhiacopski thì dùng hàm: ;để ch.m bđt: cũng có thể xét hàm y=lnx.
Vậy bất đẳng thức: la+bl lal +lbl thì xét hàm nào?
Và với bđt: ; thì dùng hàm nào?

#16 thanhvien

thanhvien

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Đã gửi 20-08-2005 - 01:03

Theo mình các bạn nên tham khảo BDT karamata.Nó thật sự là tuyệt đấy.Có thể tìm hiểu nó trong cuốn "Giải tóan bằng phương pháp sử dụng đại lượng bất biết"

#17 mignon

mignon

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 26-02-2006 - 21:17

BDT karamata là như thế nào nhỉ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mignon: 28-02-2006 - 14:18


#18 777666

777666

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 294 Bài viết
  • Đến từ:NAMSACH_HAIDUONG
  • Sở thích:Giới hạn +bất đẳng thức.

Đã gửi 01-06-2006 - 09:47

Tôi cũng rất nghiện b đ t Karamata .,vì nó dễ nhớ áp dụng nhanh chóng
Nó hay ở chỗ dấu đẳng thức có thể xảy ra lằng nhằng nhưng vẫn xử lý
được.
V.Đ.Q V.Đ.Q V.Đ.Q V.Đ.Q V.Đ.Q V.Đ.Q V.Đ.Q

mathnfriend.net

#19 ghét_hình_học

ghét_hình_học

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Đã gửi 17-09-2006 - 02:14

TÔi muốn nói về dấu bằng trong bdt Jensen.
- Nếu f là lồi nghiêm ngặt trên K thì không còn gì phải bàn, nó xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến bằng nhau.
- Nhưng còn trường hợp f không là lồi nghiêm ngặt thì dấu bằng có thể xảy ra khi các biến không bằng nhau. Vậy cụ thể thì có đk cần và đủ cho trường hợp này không?!
Một vấn đề nữa xin được chỉ giáo:
Nếu hàm f có đạo hàm cấp 2 tại mọi điểm trên (a;b) ta có sự tương đương sau không:
f lồi trên (a;b) :lol: f''>=0 trên (a;b)
Không biết mình ghét hình học hay mình sợ hình học nhỉ?!

#20 Ioseph Djugatchvili

Ioseph Djugatchvili

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Đã gửi 16-02-2008 - 14:59

Bất đẳng thức Jensen
Cho hàm số $y=f(x)$ lồi trên $[a;b]$ $(f(x)$liên tục trên $[a;b]; f'(x)\leq 0$ với mọi $x \in [a;b]). $
Cho các số $k_1; k_2;...; k_n \in R^+; k_1+k_2+...+k_n=1.$ Khi đó, với mọi $x_i \in [a;b]; i \in \overline{1;n}$ ta luôn có:
$ \sum_{i=1}^{n}k_if(x_i) \leq f(\sum_{i=1}^nk_ix_i) $
Nếu hàm số $y=f(x)$ lõm trên $[a;b]$ ($f(x)$ liên tục trên $[a;b]$; $f'(x) \geq 0$ với mọi $x \in (a;b)$) thì bất đẳng thức trên đổi chiều, tức là:
$ \sum_{i=1}^{n}k_if(x_i) \geq f(\sum_{i=1}^nk_ix_i) $




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh