Chủ đề này có 1 trả lời

[shayne ward]

cho tam giác đều OAB cạnh là a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc (OAB) lấy M sao cho OM=x. Gọi E,F là hình chiếu của A lên MB,OB. $N=EF \cap d $. Xác định x để $V_{ABMN}$ min, tìm min.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shayne ward: 26-02-2011 - 21:05

[Toanlc_gift]

cho tam giác đều OAB cạnh là a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc (OAB) lấy M sao cho OM=x. Gọi E,F là hình chiếu của A lên MB,OB. $N=EF \cap d $. Xác định x để $V_{ABMN}$ min, tìm min.

hjx,đang reply thì mất điện phải gõ lại từ đầu @@
chú ý rằng $MA=MB \geq OA = AB$ nên tam giác MAB nhọn,cân=>E ở gần B hơn M => điểm N phải nằm ở bên dưới chứ ko nằm bên trên như hình kia đâu
xem hình dướí này:

Ta thấy MN vuông góc với (OAB) nên ${V_{MNAB}} = \dfrac{1}{3}MN.{S_{OAB}}$,ta cần tìm min của MN
trước hết ta tính MN
ta có:AF vuông góc với (MOB) nên AF vuông góc với MB,kết hợp AE vuông góc với MB suy ra MB vuông góc với (FAE),do đó MB vuông góc với NE
xét mặt phẳng MNB (xem hình thứ 3)
$MO.MN = ME.MB \Rightarrow MN = \dfrac{{ME.MB}}{{MO}}$
$MO.MN = ME.MB \Rightarrow MN = \dfrac{{ME.MB}}{{MO}} = \dfrac{{\sqrt {M{A^2} - E{A^2}} \sqrt {M{O^2} + O{B^2}} }}{x}$
$= \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {a^2} - E{A^2}} \sqrt {{x^2} + {a^2}} }}{x}$
mặt khác
$AE = \dfrac{{2{S_{MAB}}}}{{MB}} = \dfrac{{MH.AB}}{{MB}} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} .a}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}$
thay vào trên ta đc
$MN = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {a^2} - \dfrac{{({x^2} + \dfrac{3}{4}{a^2}){a^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}} \sqrt {{x^2} + {a^2}} }}{x} = \dfrac{{\sqrt {{x^4} + \dfrac{{{a^4}}}{4} + {a^2}{x^2}} }}{x} = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{{a^4}}}{{4{x^2}}} + {a^2}} = x + \dfrac{{{a^2}}}{{2x}} \ge \sqrt 2 a$
suy ra ${V_{MNAB}} \ge \dfrac{1}{3}.\sqrt 2 a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}{a^3}$
đẳng thức xảy ra khi $x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 26-02-2011 - 22:42